考点36 空间中点线面的位置关系（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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考点36 空间中点线面的位置关系

平面基本性质的应用
1.如图，在三棱台ABC­A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是(　　)

A．B，C，A1　　　　　　 B．B1，C1，A
C．A1，B1，C D．A1，B，C1
2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
判断空间两直线的位置关系
3.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
4.(多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有(　　)

A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线
求两条异面直线所成的角
5.将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°

1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
2.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　)

A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
3．在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是(　　)

A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线
C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
5．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是(　　)

A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变
B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角
6.已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．当|CD|＝2|AB|时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行
7．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
8.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．

9.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．

1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2020·秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
4．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．
5．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

6.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
7.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

考点练
1.【答案】D
【解析】过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示：

则平面α可以为平面A1BDC1，
则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D．
2.证明　(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.
∵在△BCD中，＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
3.答案　D
解析　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．故选D.
4.答案　CD
解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.
5.答案　B
解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，

则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝CD，MN＝AB，
所以∠ONM或其补角即为所求的角．
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，
所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.
设正方形边长为2，OB＝OD＝，
所以BD＝2，
则OM＝BD＝1.
所以ON＝MN＝OM＝1.
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.
所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
拓展练
1.答案　C
解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
2.答案　A
解析　连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
3.答案　C
解析　如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，

取N为OC的中点，连接MN，所以OP∥MN，
则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．
因为OP⊥平面ABCD，
所以MN⊥平面ABCD，
因为在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，
所以OC＝2，所以OP＝＝2，
因此MN＝，
在Rt△BON中，BN＝＝，
∴tan∠BMN＝＝，∴∠BMN＝60°，
则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.
4.答案　CD
解析　由题意画出正方体的图形如图，

显然AB不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．故选CD.
5.答案　AB
解析　对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，

则P到平面AD1C的距离不变，
由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，
则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan ＜，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误．
所以其中说法正确的是A，B.
6.答案　B
解析　A选项：当|CD|＝2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B.
7.答案　A
解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1，B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．
又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，
∴∠CD1B1＝，
得sin∠CD1B1＝，故选A.
8.答案　
解析　如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．

则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是.
9.解　(1)方法一　如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，
所以OM∥EC.
又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB，
所以OM∥FB且OM＝EC＝FB，
所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
方法二　如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.

因为EC＝2FB＝2，
所以PE∥BF且PE＝BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB∥EF，PQ∥AE，
又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF.
又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，
此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，
所以cos∠OFE＝＝＝，
所以BM与EF所成的角的余弦值为.


模拟练
1.答案　A
解析　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2.答案　A
解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
3.答案　C
解析　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
4.答案　6
解析　如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．

5.答案　
解析　取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
6.(1)证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解　取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
7.解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.