考点37 直线、平面平行的判定与性质(考点详解)-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案
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从近三年高考情况来看,本讲是高考的重点考查内容.预测2021年将会以以下两种方式进行考查:①以几何体为载体,考查线面平行的判定;②根据平行关系的性质进行转化.试题常以解答题的第一问直接考查,难度不大,属中档题型。
一、线面平行的基本问题;
二、线面平行的判定与性质的综合应用;
三、平面与平面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定与性质 。
【易错警示】
1.一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?
提示 不都平行.该平面内的直线有两类,一类与该直线平行,一类与该直线异面.
2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.
3.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × )
(2)平行于同一条直线的两个平面平行.( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × )
(4)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( × )
线面平行的基本问题
直线与平面平行的判定方法
(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)利用实物进行空间想象,比较判断.
(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.
【典例】
例1给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
【答案】C
【解析】①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l、m;②中l与m也可能异面;③中⇒l∥n,同理,l∥m,则m∥n,正确.
例2 (2019·全国卷Ⅱ改编)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
线面平行的判定与性质的综合应用
直线与平面平行的判定定理和性质定理
1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.解决直线与平面平行问题的关注点 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线. (2)构造平行的常见形式:三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等. 3.GF∥面PDC,则线段GF上任一点到面PDC的距离都相等,利用线面平行的这一性质,进行体积转换成为(2)的求解思路. |
【典例】
例3 如图,四棱锥PABCD中,E为AD的中点,PE⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2DC=2,AC∩BD=F,且△PAD与△ABD均为正三角形,G为△PAD重心.
(1)求证:GF∥平面PDC;
(2)求三棱锥G PCD的体积.
解:(1)证明:连接AG交PD于H,连接CH.(图略)
由四边形ABCD是梯形,AB∥CD且AB=2DC,
知=,又G为△PAD的重心,∴=,
在△ACH中,==,故GF∥HC.
又HC⊂平面PDC,GF⊄平面PDC,
∴GF∥平面PDC.
(2)由AB=2,△PAD,△ABD为正三角形,E为AD中点得PE=3,
由(1)知GF∥平面PDC,又PE⊥平面ABCD,
∴VG -PCD=VF -PCD=VP -CDF=·PE·S△CDF,
由四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2DC=2,
△ABD为正三角形,知DF=BD=,∠CDF=∠ABD=60°,
∴S△CDF=CD·DF·sin∠CDF=,
∴VP-CDF=PE·S△CDF=,
∴三棱锥G PCD的体积为.
平面与平面平行的判定与性质
平面与平面平行的判定定理和性质定理
1.面面平行的判定方法
(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用).
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).
(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).
2.面面平行的性质
由面面平行,可得出线面平行,也可得出线线平行,但必须是这两个平行平面与第三个平面的交线.
【典例】
例4 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明:(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1GEB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[思维创新]
将本例条件改为:已知H为A1C1的中点,过BC和H点的平面与A1B1交于点G,求证:G为A1B1的中点.
证明:因为在三棱柱中,平面A1B1C1∥平面ABC.
平面A1B1C1∩平面BCHG=HG,
平面ABC∩平面BCHG=BC,
∴GH∥BC(面面平行性质)
∵BC∥B1C1.
∴GH∥B1C1,H为A1C1的中点.
∴G为A1B1的中点.
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