考点35 空间几何体的表面积和体积（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点35  空间几何体的表面积和体积

本部分常常结合空间几何体的结构特征综合考查几何体的外接球和内切球问题，作为常考题，需要理解与领悟解题思路和方法，对于几何体的外接球问题，需要找到其中的内在关系，然后找到求解方向，考查点多集中在这里，题型多以选择题、填空题形式出现，难度中等。

一、空间几何体的表面积与体积；

二、与球有关的切、接问题；

【易错警示】

1．如何求旋转体的表面积？

提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．

2．如何求不规则几何体的体积？

提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．

3.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)

空间几何体的表面积与体积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

2.柱、锥、台、球的表面积和体积

【方法技巧】

空间几何体表面积、体积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解．

【典例】

命题点1　空间几何体的表面积

例1　(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π   B．12π

C．8π   D．10π

答案　B

解析　设圆柱的轴截面的边长为x，

则由x2＝8，得x＝2，

∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.

命题点2　求简单几何体的体积

例2　(1)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A．3      B.      C．1      D.

答案　C

解析　如题图，

因为△ABC是正三角形，

且D为BC中点，则AD⊥BC.

又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，

故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1，

所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．

所以＝·AD＝××＝1.

(2)母线长为1的圆锥，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为________．

答案　π

解析　设圆锥底面圆的半径为r，高为h，圆锥的侧面积S＝πrl＝，解得r＝，从圆锥的轴截面图中可得h＝，所以圆锥的体积 V＝πr2h＝π××＝π.

与球有关的切、接问题

“切”“接”问题的处理规律

(1)“切”的处理

首先要找准切点，通过作过球心的截面来解决．

(2)“接”的处理

抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

【典例】

例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A.  B．2  C.  D．3

答案　C

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.

又AM＝BC＝，

OM＝AA1＝6，

所以球O的半径R＝OA＝＝.

本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.