5.5.4 简单的三角恒等变换-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

简单的三角恒等变换

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：， 

降幂公式：，

要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形：，

要点二：辅助角公式

1．形如的三角函数式的变形：

=

令，则

==

（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，

或由和共同确定．）

要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)

，   ，

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

；

以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

要点四：积化和差公式

要点诠释：

规律1：公式右边中括号前的系数都有．

规律2：中括号中前后两项的角分别为和．

规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

要点五：和差化积公式

证明过程：

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

　　将以上两式的左右两边分别相加，得 　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

　　设 α+β=θ，α-β=φ ，那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

　　把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)

　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

类型一：利用公式对三角函数式进行化简

例1．化简：（是第一象限角）．

举一反三：

【变式1】化简．

类型二：利用公式进行三角函数式的求值

例2．已知，且，则sinx+cosx=________．

【变式1】已知，试求的值．

【变式2】若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝             .

【变式3】若的图象关于直线对称，则a=________。

类型三：三角恒等变换的综合应用

例3．已知，求：

（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）的单调区间．

【变式1】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（    ）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称      B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称      D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

【变式2】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.

(1)    求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2)    设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，求sinA.

【变式3】已知函数，且当时，f（x）的最小值为2．

（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间上的所有根之和．

【变式4】已知函数f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，

得到函数g（x）的图象，若动直线x=t与函数y=f（x）和y=g（x）的图象分别交于M、N两点，

则|MN|的最大值为　    　．

类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用

例6．如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

【解析】连接OA，设∠AOP=，过A作AH⊥OP，垂足为H，

在Rt△AOH中，AH=sin，OH=cos．

在Rt△ABH中，，所以，

所以，

设平行四边形ABOC的面积为S，则：

．

由于，所以当，即时，．

所以当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3．

举一反三：

【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.

（1）设，长方形停车场PQCR面积为S，求

（2）求的最大值和最小值．

【解析】（1）作PM⊥AB于M点，又，

则

（2）设，即

则，代入化简得．

故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2) ．

【巩固练习】

1．已知函数的定义域为[a，b]，值域为[―1，2]，则b―a的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设函数，则（    ）

A．在上单调递增，其图象关于直线对称

B．在上单调递增，其图象关于直线对称

C．在上单调递减，其图象关于直线对称

D．在上单调递减，其图象关于直线对称

3．设，，则的值等于（    ）

A．    B．    C．    D．

4．的值是（    ）

A．tan28°    B．－tan28°    C．    D．

5．若是第二象限的角，且，则的值是（    ）

A．－1    B．   C．1    D．2

6．函数（    ）

A．在上递增，在上递减 

B．在上递增，在上递减 

C．在上递增，在上递减  

D．在上递增，在上递减

7．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)

A.        B.        C．1        D.

8．已知，若，且f（a）=1，则a=________；

若，则f（x）的值域是________．

9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．

10．若（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是________．

11．设，满足．

（1）求的值；

（2）求的值．

12．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin2β的值；     (2)求cos(α＋)的值．

13．已知函数

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在上的单调性．