第九讲 集合的综合运用（高考）-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第九讲：集合的综合运用（高考）
【学习目标】
1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

【基础知识】


【考点剖析】
考点一：集合的含义与表示
1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，，故中元素的个数为3，
故选B
2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意，中的元素满足，且，由，得，
所以满足的有，故中元素的个数为4．
故选C．
3．【2017新课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由题意可得，圆与直线相交于两点，，则中有两个元素，
故选B．
4．【2018新课标2，理1】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵x2+y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x=-1，0，1，当x=-1时，y=-1，0，1；
当x=0时，y=-1，0，1；当x=-1时，y=-1，0，1；所以共有9个，
选A．
5．【2013山东，理1】已知集合A={0，1，2}，则集合B=中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】C
【解析】；；
．∴中的元素为共5个，
故选C．
6．【2013江西，理1】若集合中只有一个元素，则=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
【答案】A
【解析】当时，不合，当时，，则，
故选A．
7．【2012江西，理1】若集合，，则集合中的元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】根据题意，容易看出只能取1，1，3等3个数值．故共有3个元素，
故选C．
8．【2011广东，理1】已知集合A=为实数，且，B=为实数，且，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由消去，得，解得或，这时或，即，有2个元素；
故选C
9．【2011福建，理1】是虚数单位，若集合={－1，0，1}，则（ ）
A．∈ B．∈ C．∈ D．∈
【答案】B
【解析】∵=－1∈，
故选B．
10．【2012天津，文9】集合中的最小整数为_______．
【答案】
【解析】不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为．

考点二：集合间的关系
1．【2012新课标，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A=（－1，2），故，
故选B．
2．【2012新课标卷1，理1】已知集合，则（ ）
A、A∩B=Æ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B
【答案】B
【解析】A=(-，0)∪(2，+)，∴A∪B=R，
故选B．
3．【2015重庆，理1】已知集合，，则（ ）
A．A＝B B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，
选D．
4．【2012福建，理1】已知集合，，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由M={1，2，3，4}，N={2，2}，可知2∈N，但是2M，则NM，故A错误．
∵MN={1，2，3，4，2}≠M，故B错误．M∩N={2}≠N，故C错误，D正确．
故选D
5．【2011浙江，理1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∴，又∵，∴，
故选D．
6．【2011北京，理1】已知集合=，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，得，解得，
所以的取值范围是；
故选C
7．【2013新课标1，理1】已知集合，则（ ）
A．A∩B=Æ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【答案】B
【解析】，∴A∪B=R，
故选B．
8．【2012大纲，文1】已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，={︱是菱形}，则（ ）
． ． ． ．
【答案】B
【解析】∵正方形一定是矩形，∴是的子集，
故选．
9．【2012年湖北，文1】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】求解一元二次方程，，
易知．因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有个．
故选D．

考点三：集合间的基本运算
1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【解析】∵P=M∩N={1，3}，∴P的子集共有=4，
故选B．
2．【2013新课标2，理1】已知集合M={|}，，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2} B．{，0，1，2}
C．{，0，2，3} D．{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}，
故选A．
3．【2013新课标2，文1】已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，
故选C．
4．【2013新课标I，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则（ ）
A．｛1，4｝ B．｛2，3｝ C．{9，16} D．｛1，2}
【答案】A；
【解析】依题意，，．
故选A
5．【2014新课标1，理1】已知集合，B={|－2≤＜2}，则=（ ）
．[-2，-1] ．[-1，2） ．[-1，1] ．[1，2）
【答案】A
【解析】∵A=，∴=[-2，-1]，
故选A．
6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N=，则=（ ）
A．｛1｝ B．｛2｝ C．｛0，1｝ D．｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵，∴，
故选D．
7．【2014新课标1，文1】已知集合=，=则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】(-1，1)，
故选B．
8．【2014新课标2，文1】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴；
故选B
9．【2015新课标2，理1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，，∴，
故选A．
10．【2015新课标1，文1】已知集合，则集合中的元素个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8，14}，
故选D．
11．【2015新课标2，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，
故选A．
12．【2016新课标1，理1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知=（1，3），B=，所以，
故选D．
13．【2016新课标2，理2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知={0，1}，所以{0，1，2，3}，
故选C．
14．【2016新课标3，理1】设集合，则（ ）
A．[2，3] B．（-，2][3，+）
C．[3，+） D．（0，2][3，+）
【答案】D
【解析】由题知，，∴=（0，2][3，+），
故选D．
15．【2016新课标2，文1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，∴，
故选D．
16．【2016新课标1，文1】设集合，，则（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
【答案】B
【解析】由题知，，
故选B．
17．【2016新课标3，文1】设集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，
故选C．
18．【2017新课标1，理1】已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，∴，
故选A．
19．【2017新课标1，文1】已知集合A=，B=，则（ ）
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A

20．【2017新课标2，理2】设集合，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，，
故选C．
21．【2017新课标2，文1】设集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
故选A．
22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得，，
故选B．
23．【2018新课标1，理1】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知，A=x|x<-1或x>2，∴CRA=x|-1≤x≤2，
故选B．
24．【2018新课标3，理1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，A={x≥1}，所以A∩B={1，2}，
故选C．
25．【2018新课标1，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得，
故选A．
26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选C
27．【2019新课标1，理1】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则．
故选C．
28．【2019新课标1，文2】已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，所以，
故选C．
29．【2019新课标2，理1】设集合，则（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意得，，则．
故选A．
30．【2019新课标2，文1】．已知集合，，则（ ）
A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D．
【答案】C
【解析】由题知，，
故选C．
31．【2019新课标3，理1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，则．
故选A．
32．【2019浙江，1】已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，．
故选A．
33．【2019天津，理1】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，所以，
故选D．
34．【2011辽宁，理1】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则（ ）
A．M B．N C．I D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，是的真子集，所以．
故选A
35．【2018天津，理1】设全集为R，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，因为，
所以，
故选B．
36．【2017山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
故，
选D．
37．【2017天津，理1】设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
选B．
38．【2017浙江，理1】已知集合，，那么=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
选A．
39．【2016年山东，理1】设集合则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合表示函数的值域，故．由，得，故，所以．
故选C．
40．【2016年天津，理1】已知集合则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，所以，
故选D．
41．【2015浙江，理1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故，
故选C．
42．【2015四川，理1】设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，∴．
故选A
43．【2015福建，理1】若集合（是虚数单位），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，故，
故选C．
44．【2015广东，理1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得或，得．
由得或，得．显然．
故选D
45．【2015陕西，理1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，
故选A．
46．【2015天津，理1】已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
故选A．
47．【2014山东，理1】设集合则（ ）
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】B
【解析】∵，∴，
故选B．
48．【2014浙江，理1】设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，所以，
故选B．
49．【2014辽宁，理1】已知全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，或，故，
故选D．
50．【2013山东，理1】已知集合均为全集的子集，且，，则（ ）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．
【答案】A
【解析】由题意，且，所以中必有3，没有4，，故．
故选A
51．【2013陕西，理1】设全集为R，函数的定义域为M，则为（ ）
A．[－1，1] B．(－1，1)
C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为M=[1，1]，故=，
故选D．
52．【2013湖北，理1】已知全集为，集合，，则（ ）
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，．
故选C
53．【2011江西，理1】若全集，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以==．
故选D
54．【2011辽宁】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则（ ）
A．M B．N C．I D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，是的真子集，所以．
故选A.
55．【2017江苏】已知集合，，若，则实数的值为________．
【答案】1
【解析】由题意，显然，此时，满足题意，故．
56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由解得，所以，又因为，所以，
故选D．
57．【2020年高考全国I卷理数2】设集合，且，则（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．
故选B．
58．【2020年高考全国II卷文数1】已知集合，则（ ）
A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】因为，或，所以．
故选D．
59．【2020年高考全国II卷理数1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，则．
故选A．
60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P=，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知易得，
故选B．
61．【2020年高考北京卷1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
故选D．
62．【2020年高考山东卷1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
故选C．
63．【2020年高考天津卷1】设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合补集的定义可知：，则，
故选C．
64．【2020年高考上海卷1】已知集合，则___________．
【答案】
【解析】由交集定义可知，故答案为：．
65．【2020年高考江苏卷1】已知集合，则__________．
【答案】
【解析】由题知，．

考点四：与集合有关的创新问题
1．（2012课标，理1）．已知集合，则中所含元素的个数为（ ）
．3 ．6 ．8 ．10
【答案】D．
【解析】={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，含10个元素，
故选D．
2．【2015湖北】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
故选C

3．【2013广东，理8】设整数，集合，令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项正确的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】特殊值法，不妨令，，则，，
故选B．
如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，．综合上述四种情况，可得，．
4．【2012福建，文12】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={丨∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数，属于同一“类”的充要条件是“∈[0]”．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数，属于同一类，不妨设，∈[k]={丨n∈Z}，则=5n+k，=5m+k，n，m为整数，=5(n-m)+0∈[0]正确，故①③④正确，
故选C．
5．【2013浑南，文15】对于E={}的子集X={}，定义X的“特征数列”为，其中，其余项均为0，例如子集{}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
子集{}的“特征数列”的前三项和等于；
若E的子集P的“特征数列”满足，，1≤≤99；
E的子集Q的“特征数列”满足，，1≤≤98，则P∩Q的元素个数为_________．
【解析】(1)子集{}的特征数列为：1，0，1，0，1，0，0，0……0．所以前3项和等于1+0+1=2．
(2)∵E的子集P的“特征数列”满足，，1≤≤99；
∴P的“特征数列”：1，0，1，0…1，0．所以P=．
∵E的子集Q的“特征数列”满足，，1≤≤98，，可知：j=1时，=1，∵，∴==0；同理=1==…=．Q的“特征数列”：1，0，0，1，0，0…1，0，0，1．所以Q=．
∴，∵97=1+（17-1）×6，∴共有17个相同的元素．