2022-2023学年初升高数学人教版（2019）超级衔接（4）一元二次不等式

（4）一元二次不等式—2022—2023学年初升高数学人教版（2019）超级衔接

知识衔接

回顾初中

初中阶段已经学过因式分解，一元一次不等式（组）和简单的一元二次方程及函数，掌握因式分解的基本技巧，熟练一元一次不等式（组）的解法，会求解一元二次方程的根，并熟悉一元二次函数的简略图象.

衔接高中

一元二次不等式的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.形如（或，或，或），其中

一元二次不等式的解法步骤

一元二次不等式或的解法：

设相应的一元二次方程的两个根分别为，且，，则不等式的解的各种情况如下表：

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，那么可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，那么可以先在不等式两边同时乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.

习题衔接

1.不等式的解集为(   )

A.或 B. C.或 D.

2.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(   )

A. B. C.且 D.或

3.关于x的一元二次不等式的解集为(   )

A.或  B.

C.或  D.

4.关于x的抛物线的开口向上，且与x轴交于点（-1,0），则关于x的不等式的解集是(   )
A. B. C. D.或

5.不等式的解集是(   )

A.  B.

C.或  D.或

6.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是(   )

A. B. C. D.

7.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能是(   )

A.或 B.R C. D.

8.不等式的解集为_____________.

9.如图，二次函数的图像与y轴交于点C，与x轴的一个交点为，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数的图像经过A，B两点，根据图像得满足不等式的x的取值范围是___________.

10.若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为_________________.

11.解下列不等式：

（1）；

（2）.

12.现要规划一块长方形绿地，且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿地的面积不小于4000平方米，则这块绿地的长与宽至少应为多少米?

答案以及解析

1.答案：C

解析：易得方程的两根分别为-5，0，由函数的图象（图略）知，

不等式的解集为或.

故选C.

2.答案：A

解析：由题图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，所以，不等式的解集是.故选A.

3.答案：A

解析：由得，解得或，

原不等式的解集为或.

故选A.

4.答案：D

解析：易知抛物线的对称轴为直线，点（-1,0）关于直线的对称点的坐标为（3,0），故抛物线与x轴的另一交点的坐标为（3,0）.由抛物线的开口向上，画出抛物线的大致图象如图所示，可知关于x的不等式的解集即为抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，不等式的解集是或.故选D.
 

5.答案：B

解析：，，即，解得，

原不等式的解集是，故选B.

6.答案：A

解析：设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则，.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，，的取值范围为.

7.答案：B

解析：当时，不等式可化为，解得或；

当时，不等式可化为，此时不等式无解；

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，此时不等式无解；

当时，不等式可化为，解得.

故A、C、D都有可能，B不可能.

故选B.

8.答案：

解析：由，得，解得，

原不等式的解集为.

9.答案：

解析：抛物线经过点，，抛物线对应的函数表达式为，，对称轴为直线.点B与C关于对称轴对称，满足的x的取值范围为.

10.答案：

解析：因为对于任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，将其看作关于a的一元二次不等式，可得，所以，解得.

11.答案：（1）由，可得，

解得或，

原不等式的解集为或.

（2）由，移项得，通分得，

等价于解得，

原不等式的解集为.

12.答案：设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得①，②，

由①②可得，即，

解得或（舍去），所以，

所以b至少为50，则a至少为80，

所以这块绿地的长至少为80米，宽至少为50米.