第二讲 集合的表示-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第二讲：集合的表示

【学习目标】

1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用;

2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．

【基础知识】

一、集合的表示

（1）列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．

（2）描述法

一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．

（3）Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

【考点剖析】

考点一：用列举法表示集合

例1．用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于的非负偶数组成的集合；

(2)小于的质数组成的集合；

(3)方程的实数根组成的集合；

(4)方程组的解集.

解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，

所以A＝{0,2,4,6,8,10}．

(2)小于8的质数有2,3,5,7，

所以B＝{2,3,5,7}．

(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，

所以C＝{－1,3}．

(4)方程组的解为

所以方程组的解集D＝{(3,1)}．

变式训练1：用列举法表示下列集合：

(1)方程的所有实数解组成的集合；

(2)直线与轴的交点所组成的集合；

(3)由所有正整数构成的集合．

解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．

(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．

(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．

考点二：用描述法表示集合

文字描述；式子描述

例2．用描述法表示下列集合：

(1)不等式的解组成的集合；

(2)被除余的正整数的集合；

(3)；

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.

解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．

变式训练1：用描述法表示下列集合：

(1)比大又比小的实数组成的集合；

(2)不等式的所有解；

(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．

解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．

(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．

(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．

考点三：集合的表示综合

例3．下列命题中正确的（   ）

 ①与表示同一个集合；

 ②由组成的集合可表示为或；

 ③方程的所有解的集合可表示为；

 ④集合可以用列举法表示．

 A．只有①和④  B．只有②和③

 C．只有②  D．以上语句都不对

【答案】C

【详解】

①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；

②符合集合中元素的无序性，正确；

③不符合集合中元素的互异性，错误；

④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．

故选：C.

变式训练1：方程组的解集是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，两式相加可得，所以，

将代入可得，

所以，

所以方程组的解集是，

故选：D

变式训练2：下列集合恰有个元素的集合是（   ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】C

【详解】

不是集合；

,,,

所以选C.

变式训练3：已知集合，若，则实数的值为__________.

【答案】或

【详解】

因为，则或或，

当时，，，符合题意；

当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当时，或（舍）

当时，，符合题意；

综上所述：或，

故答案为：或

考点四：元素个数

相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）

例4．设集合，则中元素的个数为（   ）

 A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】

时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．

故选：B．

变式训练1：已知集合，，则集合中元素的个数为（   ）

 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】

因为集合，，

所以集合，

故选：C

变式训练2：设集合，则中元素的个数为（   ）

 A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】

因为，所以当时，由可得：；

当时，由可得：；

当时，由可得：，

当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，

所以,

因此中元素的个数为5.

故选：C

变式训练3：集合，则中元素的个数为（   ）

 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】

由已知得，又，所以中元素的个数为个．

故选：C.

考点五：元素个数（求参）

相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）

例5．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：①当时，，此时满足条件；

②当时，中只有一个元素的话，，解得，

综上，的取值集合为，．

故选：D．

变式训练1：已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

当时，，符合题意；

当时，若集合中有且只有一个元素，

则，解得；

所以实数的取值集合是.

故选：A．

变式训练2：式子的所有可能取值组成的集合为________.

【答案】

【详解】

因为，

所以，

当时，，

当时，，

所以式子的所有可能取值组成的集合为，

故答案为：

变式训练3：已知集合.

（1）若是空集，求的取值范围；

（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；

（3）若中至多有一个元素，求的取值范围

【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.

【详解】

（1）若A是空集，则方程无解此时＝9-8a＜0即a

所以的取值范围为

（2）若A中只有一个元素

则方程有且只有一个实根

当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件

当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：

∴a＝0或a

当时，；当时，

（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素

由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.

考点六：集合新定义

例6．给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：

①集合为闭集合；

②集合为闭集合；

③若集合、为闭集合，则为闭集合．

其中正确结论的个数是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；

对于命题②，任取、，则存在、，使得，，

且，，所以，，，

所以，集合为闭集合，②正确；

对于命题③，若集合、为闭集合，取，，

则或，

取，，则，，

所以，集合不是闭集合，③错误.

因此，正确的结论个数为.

故选：B.

变式训练1：已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”．给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案：6

解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．

变式训练2：已知集合．

(1)若，则是否存在，使成立？

(2)对于任意，是否一定存在，使？证明你的结论．

解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，

令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.

故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.

当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．

故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.

【真题演练】

1、【2018新课标2，理1】已知集合，则中元素的个数为（   ）

 A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】A

【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A．

2、【2013山东，理1】已知集合，则集合中元素的个数是（   ）

 A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】C

【解析】；；

．∴中的元素为共5个，故选C．

3、【2013江西，理1】若集合中只有一个元素，则=（   ）

 A．4 B．2 C．0 D．0或4

【答案】A

【解析】当时，不合，当时，，则，故选A．

4、【2012江西，理1】若集合，，则集合中的元素的个数为（   ）

 A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【解析】根据题意，容易看出只能取1，1，3等3个数值．故共有3个元素，故选C．

5、【2012天津，文9】集合中的最小整数为_______．

【答案】

【解析】不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为．

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)用列举法和描述法表示集合．

(2)两种表示法的综合应用．

2．方法归纳：等价转化、分类讨论．

3．常见误区：点集与数集的区别．

【过关检测】

1、若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由可得，

用列举法表示为：，

故选：B.

2、已知集合，，则集合中所含元素的个数为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为集合，

所以共含有10个元素.

故选：D.

3、已知集合，，则集合等于（   ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以，，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，

所以，

故选：B

4、已知，则实数的值为（   ）

 A．1或 B．1 C． D．或0

【答案】C

【详解】

当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；

当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.

故选：C

5、下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合含有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是（   ）

 A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】D

【详解】

①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；

②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；

③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；

④当x为正整数的倒数时，∈N，所以是无限集，所以④不正确．

故选：D

6、若集合中只有一个元素，则实数的值为（   ）

 A． B． C． D．或

【答案】D

【详解】

当时，，合乎题意；

当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.

综上所述，或.

故选：D.

7、设是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（   ）

 A．数域必含有两个数；

 B．整数集是数域；

 C．若有理数集，则数集必为数域；

 D．数域必为无限集．

【答案】AD

【详解】

数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；

因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；

令数集，则，但，所以C不正确；

数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．

故选：AD

8、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（   ）

 A．整数集是数域

 B．若有理数集，则数集必为数域

 C．数域必为无限集

 D．存在无穷多个数域

【答案】CD

【详解】

要满足对四种运算的封闭，逐个检验；

A.对除法如∉Z不满足，所以排除；

B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；

C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；

D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.

故选:CD.

9、用适当的方法表示下列集合：

（1）大于且小于的有理数组成的集合．

（2）的正因数组成的集合．

（3）自然数的平方组成的集合．

（4）由这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．

【答案】

（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．

（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．

（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．

（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．

10、已知集合．

（1）若中只有一个元素，求的值；

（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；

（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）；（3）或.

【详解】

解：（1）若中只有一个元素，

则当时，原方程变为，此时符合题意，

当时，方程为二元一次方程，，即，

故当或时，原方程只有一个解；

（2）中至少有一个元素，

即中有一个或两个元素，

由得综合（1）当时中至少有一个元素；

（3）中至多有一个元素，

即中有一个或没有元素

当，

即时原方程无实数解，

结合（1）知当或时中至多有一个元素.

11、已知集合，其中.

（1）1是中的一个元素，用列举法表示A；

（2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围.

【答案】（1）（2）或

【详解】

（1）因为，所以，得，

所以.

（2）当中只有一个元素时，只有一个解，

所以或，

所以或，

当中没有元素时，无解，所以，解得，

综上所述：或.