第十一讲 充分必要条件-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十一讲：充分必要条件

【学习目标】

1.理解充要条件的意义.

2.会判断一些简单的充要条件问题.

3.能对充要条件进行证明．

【基础知识】

知识点：充要条件

1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

【考点剖析】

考点一：充要条件的判断

例1．“”是“”的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

当时，得；当时，得，所以“”是“”的充要条件，

故选：C．

变式训练1：命题 ，命题（其中），那么是的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

若，则，所以命题可以得出命题成立，

若则，即，所以所以命题可以得出命题成立，

所以是的充要条件，

故选：C

变式训练2：设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】

由可得，

解得，

又命题甲为：，

所以甲是乙的充要条件，

故选：C.

变式训练3：“”是“一元二次方程无实数根”的（   ）

 A．充分不必要条件  B．充要条件

 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

若一元二次方程无实数根，则，解得；

反之若，则，则一元二次方程无实数根.

所以“”是“一元二次方程无实数根”的充要条件.

故选：B

考点二：充要条件的证明

例2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．

【答案】证明见解析

【详解】

证明（充分性）

∵，∴

∴

（必要性）

∵，∴

∴

即，∴，得证．

变式训练1：设，求证：的充要条件是.

【答案】证明见解析

【详解】

充分性：若，∵，∴，即；

必要性：若，∵，∴，即.

所以的充要条件是.

变式训练2：求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.

【答案】证明见解析

【详解】

设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分；

所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.

变式训练3：已知一元二次方程.

（1）若是方程的两个根，求的值；

（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.

【答案】（1）0；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题得，所以；

（2）先证明充分性：

当时，或，

所以是方程的一个根，

所以充分性成立；

再证明必要性：

当是方程的一个根时，

.

所以必要性成立.

所以“是方程的一个根”的充要条件是“”.

考点三：充要条件的应用（一）

例3．方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（   ）

 A．或  B．或

 C．或  D．或

【答案】A

【详解】

若方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素，

当时，，符合题意；

当时，由方程有实根，得到，解得；

若，则方程有且仅有一个实根，符合题意；

若且，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为，，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则，即；

当或时，关于的方程的解集中有且最多有一个负实数元素；

综上方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为或.

故选：A.

变式训练1：三个数不全为零的充要条件是（   ）

 A．都不是零  B．中至多一个是零

 C．中只有一个为零 D．中至少一个不是零

【答案】D

【详解】

主要考查充要条件的概念及其判定方法．三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零．选D.

变式训练2：二次函数的值恒为正值的充要条件是（   ）

 A．  B．

 C． D．

【答案】C

【详解】

解：二次函数的值恒为正值，则函数的图象开口向上，且与轴没有交点，即.

故选：C.

变式训练3：函数的图象关于直线对称的充要条件是（   ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即.

所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

故选：A.

考点三：充要条件的应用（二）

例3．已知，.

（I）是否存在，使得是的充要条件？若存在，求的值，若不存在，请说明理由：

（II）从下面三个条件中任选一个，求的取值范围.

①是的必要条件；②是的充分条件；

【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）

【详解】

解：（I）由，

解得：，

若p是q的充要条件，

则，

即，此时方程组无解，

即不存在，使p是q的充要条件；

（II）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，

若选①，p是q的必要条件，

则，

当时，，

即成立；

当时，且，

解得：，

综上所述：；

若选择②，q是p的充分条件，

则，

当时，，

即成立；

当时，且，

解得：，

综上所述：；

变式训练1：已知命题，命题.

（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.

（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【详解】

（1）集合，集合.

因为是的充分条件，所以，

∴集合可以分为或两种情况来讨论：

当时，满足题意，此时，解得：；

当时，要使成立，

需满足，

综上所得，实数的取值范围.

（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，

则必有，解得，综合得无解.

故不存在实数，使得，

即不存在实数，使得是的充要条件.

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)充要条件概念的理解．

(2)充要条件的证明．

(3)充要条件的应用．

2．方法归纳：等价转化．

3．常见误区：条件和结论辨别不清．

【过关检测】

1、“”是“”的（   ）

 A．必要不充分条件  B．既不充分又不必要条件

 C．充分不必要条件  D．充要条件

【答案】D

【详解】

是两个集合，则“”可得“”，

“”，可得“”.

所以是两个集合，则“”是“”的充要条件.

故选：D.

2、设为全集，则“”是“”的（   ）．

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

因为为全集，若，则；若，则；

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

3、设，则是的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

若，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，

成立，则成立，充分性成立；

成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，

成立，则成立，必要性成立；

所以，是的充要条件

故选C

4、已知：，：，则是的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】D

【详解】

：，，

：，

所以，且，

所以是的充要条件.

故选：D.

5、“”是“”成立的（   ）

 A．充要条件  B．充分非必要条件

 C．必要非充分条件  D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【详解】

∵“不等式，不等式，

∴两不等式解集相等，

∴“”是“”成立的充要条件，

故选A．

6、设是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，是的充分条件，那么是的（   ）条件.

 A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

 C．充分不必要条件  D．充分必要条件

【答案】D

【详解】

因为是的充分条件，是的充要条件，

所以是的充分条件，即成立.

又因为是的必要条件，所以是的充分条件，即，

因为t是r的充分条件，，所以，即是的充要条件.

故选：D

7、“”是“二次函数的图象关于轴对称”的（   ）

 A．充要条件  B．充分不必要条件

 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

二次函数的图象关于y轴对称，

二次函数的图象关于y轴对称,对称轴为

所有二次函数的图象关于y轴对称，

∴“”是“二次函数的图象关于y轴对称”的充要条件，

故选：A.

8、有下述说法：①是的充要条件 ②是的充要条件 ③是的充要条件，则其中正确的说法有（   ）

 A．个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【详解】

①，，

如，，故①错误.

②因为，

所以，，故②错误.

③因为，，

如，，故③错误.

故选：A

9、已知、，则“”是“”的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

，

对任意的，，

所以，.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

10、已知，则“”是“”的（   ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

由于,
,
,

反之:当时,
,
,
,2,
,即
综上所述:“”是“”的充要条件，
故选：C.

11、成立的充要条件是（   ）

 A． B． C． D．或

【答案】D

【详解】

解：因为，，，即，解得或，即，

故成立的充要条件是“或”.

故选：

12、若，都是正整数，则成立的充要条件是（   ）

 A．  B．，至少有一个为1

 C．  D．且

【答案】B

【解析】

,当时,不等式成立,故排除三个选项,所以选.

13、求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.

【答案】证明见解析

【详解】

证明①充分性：如果，那么.当时，，

所以一次函数的图象经过坐标原点.

②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，

所以当时，，即，所以.

综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.

14、已知，求证：的充要条件是．注：．

【答案】证明见解析.

【详解】

证明：先证必要性：

∵，∴

∴

再证充分性：

∵

∴

即：

∵，

∴，即.

综上所述：的充要条件是.

15、已知，求证：成立的充要条件是.

【答案】证明见解析

【详解】

证明：（1）充分性（条件→结论）

因为，而，

所以成立；

（2）必要性（结论→条件）

因为，而，

又，所以且，从而，且.

所以，所以成立.

综上：成立的充要条件是.

16、给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.

请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【详解】

若选择①，即是的充分不必要条件，则且，

，解得：，即实数的取值范围为.

若选择②，即是的必要不充分条件，则.

当时，，解得：；

当时，，解得：，则，解得：，

此时解集为；

综上所述：实数的取值范围是.

若选择③，即是的充要条件，则，不成立，

则不存在实数，使是的充要条件.

17、在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充分必要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的存在，求的取值集合，若问题中的不存在，说明理由.

问题：已知集合，集合，是否存在实数，使得是成立的______？

【答案】答案不唯一，具体见解析

【详解】

若选①，则是的真子集

所以且（两等号不同时取得），

又解得

所以存在，的取值集合

若选②，则是的真子集

所以且（两等号不同时取得），

又解得

所以存在，的取值集合

若选③，则

所以且

又，方程组无解

所以不存在满足条件的.