人教B版数学必修1 素养等级测评3 试卷

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素养等级测评三
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于(　B　)
A．－3x＋2　 B．－6x－1　　
C．2x＋1　 D．－6x＋5
解析：在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x－1.
2．函数y＝的定义域为(　B　)
A．(－∞，2]
B．∪
C．∪
D．(－∞，1]
解析：若使函数有意义，则由此可得所以，函数的定义域为∪.故选B．
3．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿着路径A—B—C—M(不包含A，M点)运动时，△APM的面积y关于点P经过的路程x的函数y＝f(x)的图像的大致形状为(　A　)


解析：根据题意，得y＝f(x)＝其图像如图所示，故选A．

4．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a等于(　B　)
A．－4或－2　 B．－4或2　　
C．－2或4　 D．－2或2
解析：当a>0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4.因此a＝－4或a＝2.
5．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为(　D　)
A．(－2,0)　 B．(－2,0]　　
C．[－2,0)　 D．[－2,0]
解析：当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等的实数根时，
有此时无解．
当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实数根时，分下列三种情况讨论．
①有且只有一根在[0,1]上时，有f(0)·f(1)＜0，
即2m(m＋2)＜0，解得－2＜m＜0；
②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，满足题意；
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,0]．
故选D．
6．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于(　C　)
A．0　 B．1　　
C．　 D．5
解析：令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴＝－＋f(2)，∴f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.令x＝3，得f(5)＝f(2)＋f(3)＝.
7．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)＜0，则实数a的取值范围是(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且f(x)为奇函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)＜f(a－1)，∴2－a＞a－1，∴a＜，故选D．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　C　)
A．－6　 B．6　　
C．－8　 D．8
解析：f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x)关于x＝－2对称，f(x)＝m的根关于x＝－2对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4×(－2)＝－8.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列各组函数表示的是同一个函数的是(　BD　)
A．f(x)＝与g(x)＝x·
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0
D．f(x)＝与g(x)＝x0
解析：对于A，f(x)＝与g(x)＝x·的对应关系不同，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；
对于B，f(x)＝|x|与g(x)＝的定义域和对应关系均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数；
对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；
对于D，f(x)＝与g(x)＝x0的对应关系和定义域均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数．
10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(　BD　)
A．f(x)＝　 B．f(x)＝－x3
C．f(x)＝x|x|　 D．f(x)＝－
解析：A．f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C，f(x)＝x|x|＝在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD．
11．已知函数f(x)＝＋，则(　ABD　)
A．f(x)的定义域为[－3,1]　 B．f(x)为非奇非偶函数
C．f(x)的最大值为8　 D．f(x)的最小值为2
解析：由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f 2(x)＝4＋2×＝4＋2×，而0≤≤2，即4≤f 2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值为2，最小值为2，故选ABD．
12．下列说法正确的是(　AD　)
A．若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0
B．函数f(x)＝＋是偶函数，但不是奇函数
C．若函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]
D．曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1
解析：设方程x2＋(a－3)x＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1·x2＝a<0，故A正确；函数f(x)＝＋的定义域为则x＝±1，∴f(x)＝0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，故B不正确；函数f(x＋1)的值域与函数f(x)的值域相同，故C不正确；曲线y＝|3－x2|的图像如图，由图知曲线y＝|3－x2|和直线y＝a的公共点个数可能是2,3或4，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是____.
解析：∵f(x)＝－x＋3a在x∈(－∞，1)上是单调递减的，且f(x)在R上是单调函数，∴f(x)在R上一定单调递减，
∴解得a≥.∴a∈.
14．函数f(x)＝的定义域为__(－∞，－1)∪(－1，＋∞)__，单调递减区间为__(－∞，－1)和(－1，＋∞)__.
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数．
15．函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(2x－1)|<3的解集为____.
解析：因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，所以f(－2)＝－3，f(1)＝3.又|f(2x－1)|<3，所以－3 16．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．现给定一个实数a∈(4,5)，则函数f(x)＝x2＋ax＋1的不动点共有__2__个．
解析：由定义，令x2＋ax＋1＝x，则x2＋(a－1)x＋1＝0，当a∈(4,5)时，Δ＝(a－1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并给予证明；
(3)求函数在[3,5]上的最大值和最小值．
解：(1)∵函数f(x)＝，x＋1≠0，∴x≠－1.∴函数的定义域是{x|x≠－1}．
(2)函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
∵－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) (3)∵f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[3,5]上单调递增，
它的最大值是f(5)＝＝，最小值是f(3)＝＝.
18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求函数f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①　4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②　①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋)2＋＋18.图像的对称轴是直线x＝－.
∵0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，∴此时函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)记A＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)，B＝f(1)＋f＋f＋…＋f，求A＋B的值；
(3)若实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)>1，求证：|x1x2|>1.
解：(1)证明：对任意实数x，有f(－x)＝＝＝f(x)，故函数f(x)是偶函数．
(2)当x≠0时，f(x)＋f＝＋＝＋＝1，
A＋B＝[f(1)＋f(1)]＋＋…＋＝2 020.
(3)证明：由f(x1)＋f(x2)>1，得＋>1，即x(x＋1)＋x(x＋1)>(x＋1)(x＋1)，所以xx>1，所以|x1x2|>1.
20．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．
解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，
当0 当100 当x≥550时，W＝51.
当0 ∴当100 当x≥550时， f(x)＝(51－40)x＝11x.
故f(x)＝.
21．(12分)已知函数f(x)＝x＋，且此函数图像过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论函数f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解：(1)∵函数f(x)的图像过点(1,5)，∴1＋m＝5，
∴m＝4.
(2)由(1)知f(x)＝x＋，
∵x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝－x＋＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1 ＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
∵x1，x2∈[2，＋∞)且x14，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
22．(12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x＞0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(x＋6)＋f(x)＞2，求x的取值范围．
解：(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)设0＜x1＜x2，则x2－x1＞0.
又因为当x1≠x2时，＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在定义域内为增函数．
令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.
当即x＞0时，原不等式可化为f[x(x＋6)]＞f(16)．
又因为f(x)在定义域上为增函数，所以x(x＋6)＞16，解得x＞2或x＜－8.
又因为x＞0，所以x＞2.
所以x的取值范围为(2，＋∞)．