人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数本章综合与测试精品教案

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【例1】 (1)求函数y＝eq \r(5－x)＋eq \r(x－1)－eq \f(1,x2－9)的定义域；


(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．


[解] (1)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))


故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．


(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为eq \f(1,2)(a－2x)，


所以y＝x·eq \f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq \f(1,2)ax，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．


2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．








1．函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq \f(1,3)，故选D.]





【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则f(x)的解析式为________；


(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________．


(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))


(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq \r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


即－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1.


∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))


(2)令t＝eq \f(1＋x,x)＝eq \f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq \f(1,t－1)代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，得f(t)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))2)＋eq \f(1,\f(1,t－1))


＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.


所以所求函数的解析式为


f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]





求函数解析式的题型与相应的解法


1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.


2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.


3含fx与f－x或fx与，使用解方程组法.


4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.








2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.


(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.


求函数f(x)的解析式．


(1)eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2) [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).]


(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，


所以－eq \f(b,2a)＝－1即b＝2a，


又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，


由条件③知：a>0，且eq \f(4ac－b2,4a)＝0，


即b2＝4ac，由以上可求得a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(1,4)，


所以f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4).





【例3】 已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).


(1)确定函数f(x)的解析式；


(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．


[思路点拨] (1)用f(0)＝0及feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)求a，b的值；


(2)用单调性的定义求解．


[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))


故f(x)＝eq \f(x,1＋x2).


(2)任取－1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,1＋x\\al(2,1))－eq \f(x2,1＋x\\al(2,2))＝eq \f(x1－x21－x1x2,1＋x\\al(2,1)1＋x\\al(2,2)).


∵－10,1＋xeq \\al(2,2)>0.


又－10，


∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．





1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.


[解] 由f(t－1)＋f(t)<0得


f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．


∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1

2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．


[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即eq \f(－ax＋b,1＋x2)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)，∴a＝0，


又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，∴b＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝eq \f(1,2＋2x2).





巧用奇偶性及单调性解不等式


1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1fx2的形式.


2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.








【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)





(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？


(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？


(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？


[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．


[解] 由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.


设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，


则fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(980≤x≤60，,\f(3,10)x＋80x>60，))


fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1680≤x≤500，,\f(3,10)x＋18x>500.))


(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．


(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18＝0.3(n>500)，


所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．


(3)由题图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)

当x>500时，fA(x)>fB(x)．


当60

当60fA(x)；当eq \f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．


即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．





1．对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．


2．对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键．








3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：


①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．





(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；


(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？


[解] 设该店月利润余额为L，则由题设得


L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①


由销售图易得：


Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋5014≤P≤20，,－\f(3,2)P＋4020

代入①式得


L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50P－14×100－5 60014≤P≤20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)P＋40))P－14×100－5 60020

(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，


当20

故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．


(2)设可在n年内脱贫，依题意有


12n×450－50 000－58 000≥0.


解得n≥20.


即最早可望在20年后脱贫．





求函数的定义域
求函数的解析式
函数的性质及应用
函数的应用