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高中3.3 函数的应用(一)优秀导学案
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这是一份高中3.3 函数的应用(一)优秀导学案，共10页。
探究一 分段函数模型
电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分).(注：图中MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
解 由题图可知，M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x＞60，))
fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))
(1)通话2 h，两种方案的话费分别为116元，168元.
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18
＝eq \f(3,10)＝0.3(元)(n＞500)，
所以，方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元.
(3)由题图知，当0≤x≤60时，有fA(x)＜fB(x).
当x≥500时，fA(x)＞fB(x)，
当60＜x＜500时，由fA(x)＞fB(x)，得x＞eq \f(880,3)，
即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B比方案A优惠.
[方法总结]
1.一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
2.分段函数模型应用的两个注意点
(1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.
(2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. [跟踪训练1] 为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜.
解 (1)由图像可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x.
由点B(30,35)，C(30,15)分别在y1＝f(x)和y2＝g(x)的图像上，可得30k1＋29＝35,30k2＝15.
所以k1＝eq \f(1,5)，k2＝eq \f(1,2).
所以通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式为
y1＝eq \f(1,5)x＋29，y2＝eq \f(1,2)x.
(2)令y1＝y2，得eq \f(1,5)x＋29＝eq \f(1,2)x.解得x＝eq \f(290,3).
所以当x＝eq \f(290,3)时，两种卡的收费相同；
令y1＞y2，得eq \f(1,5)x＋29＞eq \f(1,2)x，解得x＜eq \f(290,3).
所以当x＜eq \f(290,3)时，使用“如意卡”便宜；
令y1＜y2，得eq \f(1,5)x＋29＜eq \f(1,2)x，解得x＞eq \f(290,3).
所以当x＞eq \f(290,3)时，使用“便民卡”便宜.
综上，当用户在一个月内的通话时间为eq \f(290,3) min时，两种卡收费相同；当用户在一个月内的通话时间小于eq \f(290,3) min时，使用“如意卡”便宜；当用户在一个月内的通话时间大于eq \f(290,3) min时，使用“便民卡”便宜.
探究二 二次函数模型
牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
解 (1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))，(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4)，
即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0
因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)，
所以0
又因为k>0，所以0
[变式探究] 若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数关系式？
解 据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq \f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m))))(0
[方法总结][来源:ZXXK]
利用二次函数求最值的方法及注意点
方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[跟踪训练2] 据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润.
解 (1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a>0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5. 解得a＝eq \f(1,10).
所以y＝eq \f(1,10)(x－15)2＋17.5，(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)x2－3x＋40))＝－eq \f(1,10)(x－23)2＋12.9，(10≤x≤25).
因为x＝23∈[10,25]时取最大值，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
探究三 均值不等式模型
某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元).
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
解 (1)由题意得y＝eq \f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，
即y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5(x∈N*).
(2)由均值不等式得y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5≥2eq \r(x·\f(100,x))＋1.5
＝21.5，
当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时等号成立.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.
[方法总结]
用均值不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽像出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[跟踪训练3] 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
(1)求S关于x的函数关系式；[来源:]
(2)求S的最大值.
解 (1)由题设，得S＝(x－8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(900,x)－2))
＝－2x－eq \f(7 200,x)＋916，x∈(8,450).[来源:学&科&网]
(2)因为8
所以2x＋eq \f(7 200,x)≥2 eq \r(2x·\f(7 200,x))＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
建立数学模型一定要过好三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.
课时作业(二十四) 函数的应用(一)
1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点
D [从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点.]
2.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(单位：元)是f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.3，500≤n≤1 000，,0.4，1 000＜n＜2 000，,0.5，n≥2 000.))若一员工获得400元的奖励，则该员工一年的销售额为( )
A.800元 B.1 000元
C.1 200元 D.1 500元
D [根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题.当n∈(1000,2000)时，f(n)＝0.4(n－500)＝400⇒n＝1500∈(1000,2000)符合题意.]
3.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以a m/s的速度从地面垂直向上射箭时，t s后的高度x m可由x＝at－5t2确定. 已知射出2 m后箭离地面高100 m，则弓箭能达到的最大高度为________.
180 m [由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.
所以x＝60t－5t2. 由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为180 m.]
4.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少.
35 [Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5. 故v＝35 km/h时，耗油量最少.]
5.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝eq \f(11,5) (h)，所以0≤t≤eq \f(11,5).
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车运行总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是
s＝13＋120t，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤t≤\f(11,5))).
2 h内火车行驶的路程s＝13＋120×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(10,60)))＝233(km).
6.某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系：
(1)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.
解 (1)实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数.
设f(x)＝kx＋b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))
所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立.
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)
＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50，[来源:]
所以对称轴x＝－eq \f(240,2×－3)＝40∈[30,50].
所以当销售单价为40元时，所获利润最大.
7.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积.
解 设直角三角形为△ABC，AC＝40 cm，BC＝60 cm，矩形为CDEF，如图所示，
设CD＝x cm，CF＝y cm，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得
eq \f(AF,ED)＝eq \f(FE,DB)，即eq \f(40－y,y)＝eq \f(x,60－x)，解得y＝40－eq \f(2,3)x.
记剩下的残料面积为S，则
S＝eq \f(1,2)×60×40－xy＝eq \f(2,3)x2－40x＋1 200
＝eq \f(2,3)(x－30)2＋600，(0
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20.
所以当CD＝30 cm，CF＝20 cm时，剩下的残料面积最小，为600 cm2.
1.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图像；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图像.
解 (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离
s＝60t,0≤t≤2.5.
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离
s＝150,2.5＜t≤3.5.
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离
s＝150－50(t－3.5)＝325－50t,3.5＜t≤6.5.
综上，s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150，2.5＜t≤3.5，,150－50t，3.5＜t≤6.5，))
它的图像如图甲所示：
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是
v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60，0≤t≤2.5，,0，2.5＜t≤3.5，,50，3.5＜t≤6.5，))它的图像如图乙所示：
2.季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售.
(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
解 (1)p＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋2t，t∈[0，5]，t∈N，,20，t∈5，10]，t∈N，,40－2t，t∈10，16]，t∈N.))
(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，则L(t)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋2t＋0.125t－82－12，t∈[0，5]，t∈N，,20＋0.125t－82－12，t∈5，10]，t∈N，,40－2t＋0.125t－82－12，t∈10，16]，t∈N，))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，,0.125t－82＋8，t∈5，10]，t∈N，,0.125t2－4t＋36，t∈10，16]，t∈N.))
当t∈[0,5]，t∈N时，L(t)单调递增，L(t)max＝L(5)＝9.125；
当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；
当t∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，
L(t)max＝L(11)＝7.125.
由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元.
3.(拓广探索)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x>0)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取得最大值的实际意义是什么？
解 由题意知，x∈[1,100]，且x∈N.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
所以P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝－40x＋2 480.
(2)P(x)＝－20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(125,2)))2＋74 125，
当x＝62或63时，P(x)max＝74 120(元).
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)max＝2 440(元).
所以利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)没有相同的最大值.
(3)边际利润函数MP(x)当x＝1时取得最大值，说明生产第二台与生产第一台的利润差最大，即第二台报警系统的利润最大.MP(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减小.
课程标准
学科素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
通过对函数的应用(一)的学习，提升“数学建模”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0
探究一 分段函数模型
电信局为了满足客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分).(注：图中MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为2 h，按方案A，B应各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
解 由题图可知，M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x＞60，))
fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))
(1)通话2 h，两种方案的话费分别为116元，168元.
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18
＝eq \f(3,10)＝0.3(元)(n＞500)，
所以，方案B从500 min以后，每分钟收费0.3元.
(3)由题图知，当0≤x≤60时，有fA(x)＜fB(x).
当x≥500时，fA(x)＞fB(x)，
当60＜x＜500时，由fA(x)＞fB(x)，得x＞eq \f(880,3)，
即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B比方案A优惠.
[方法总结]
1.一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线.
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
2.分段函数模型应用的两个注意点
(1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.
(2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. [跟踪训练1] 为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜.
解 (1)由图像可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x.
由点B(30,35)，C(30,15)分别在y1＝f(x)和y2＝g(x)的图像上，可得30k1＋29＝35,30k2＝15.
所以k1＝eq \f(1,5)，k2＝eq \f(1,2).
所以通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式为
y1＝eq \f(1,5)x＋29，y2＝eq \f(1,2)x.
(2)令y1＝y2，得eq \f(1,5)x＋29＝eq \f(1,2)x.解得x＝eq \f(290,3).
所以当x＝eq \f(290,3)时，两种卡的收费相同；
令y1＞y2，得eq \f(1,5)x＋29＞eq \f(1,2)x，解得x＜eq \f(290,3).
所以当x＜eq \f(290,3)时，使用“如意卡”便宜；
令y1＜y2，得eq \f(1,5)x＋29＜eq \f(1,2)x，解得x＞eq \f(290,3).
所以当x＞eq \f(290,3)时，使用“便民卡”便宜.
综上，当用户在一个月内的通话时间为eq \f(290,3) min时，两种卡收费相同；当用户在一个月内的通话时间小于eq \f(290,3) min时，使用“如意卡”便宜；当用户在一个月内的通话时间大于eq \f(290,3) min时，使用“便民卡”便宜.
探究二 二次函数模型
牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
解 (1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))，(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4)，
即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0
因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)，
所以0
又因为k>0，所以0
[变式探究] 若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数关系式？
解 据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq \f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m))))(0
[方法总结][来源:ZXXK]
利用二次函数求最值的方法及注意点
方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[跟踪训练2] 据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润.
解 (1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a>0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5. 解得a＝eq \f(1,10).
所以y＝eq \f(1,10)(x－15)2＋17.5，(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)x2－3x＋40))＝－eq \f(1,10)(x－23)2＋12.9，(10≤x≤25).
因为x＝23∈[10,25]时取最大值，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
探究三 均值不等式模型
某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元).
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
解 (1)由题意得y＝eq \f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，
即y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5(x∈N*).
(2)由均值不等式得y＝x＋eq \f(100,x)＋1.5≥2eq \r(x·\f(100,x))＋1.5
＝21.5，
当且仅当x＝eq \f(100,x)，即x＝10时等号成立.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.
[方法总结]
用均值不等式求实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽像出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[跟踪训练3] 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
(1)求S关于x的函数关系式；[来源:]
(2)求S的最大值.
解 (1)由题设，得S＝(x－8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(900,x)－2))
＝－2x－eq \f(7 200,x)＋916，x∈(8,450).[来源:学&科&网]
(2)因为8
所以2x＋eq \f(7 200,x)≥2 eq \r(2x·\f(7 200,x))＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
建立数学模型一定要过好三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.
课时作业(二十四) 函数的应用(一)
1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点
D [从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点.]
2.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(单位：元)是f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.3，500≤n≤1 000，,0.4，1 000＜n＜2 000，,0.5，n≥2 000.))若一员工获得400元的奖励，则该员工一年的销售额为( )
A.800元 B.1 000元
C.1 200元 D.1 500元
D [根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题.当n∈(1000,2000)时，f(n)＝0.4(n－500)＝400⇒n＝1500∈(1000,2000)符合题意.]
3.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以a m/s的速度从地面垂直向上射箭时，t s后的高度x m可由x＝at－5t2确定. 已知射出2 m后箭离地面高100 m，则弓箭能达到的最大高度为________.
180 m [由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.
所以x＝60t－5t2. 由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为180 m.]
4.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少.
35 [Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5. 故v＝35 km/h时，耗油量最少.]
5.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝eq \f(11,5) (h)，所以0≤t≤eq \f(11,5).
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车运行总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是
s＝13＋120t，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤t≤\f(11,5))).
2 h内火车行驶的路程s＝13＋120×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(10,60)))＝233(km).
6.某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系：
(1)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.
解 (1)实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数.
设f(x)＝kx＋b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))
所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立.
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)
＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50，[来源:]
所以对称轴x＝－eq \f(240,2×－3)＝40∈[30,50].
所以当销售单价为40元时，所获利润最大.
7.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积.
解 设直角三角形为△ABC，AC＝40 cm，BC＝60 cm，矩形为CDEF，如图所示，
设CD＝x cm，CF＝y cm，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得
eq \f(AF,ED)＝eq \f(FE,DB)，即eq \f(40－y,y)＝eq \f(x,60－x)，解得y＝40－eq \f(2,3)x.
记剩下的残料面积为S，则
S＝eq \f(1,2)×60×40－xy＝eq \f(2,3)x2－40x＋1 200
＝eq \f(2,3)(x－30)2＋600，(0
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20.
所以当CD＝30 cm，CF＝20 cm时，剩下的残料面积最小，为600 cm2.
1.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图像；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图像.
解 (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离
s＝60t,0≤t≤2.5.
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离
s＝150,2.5＜t≤3.5.
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离
s＝150－50(t－3.5)＝325－50t,3.5＜t≤6.5.
综上，s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150，2.5＜t≤3.5，,150－50t，3.5＜t≤6.5，))
它的图像如图甲所示：
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是
v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60，0≤t≤2.5，,0，2.5＜t≤3.5，,50，3.5＜t≤6.5，))它的图像如图乙所示：
2.季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售.
(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？
解 (1)p＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋2t，t∈[0，5]，t∈N，,20，t∈5，10]，t∈N，,40－2t，t∈10，16]，t∈N.))
(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，则L(t)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋2t＋0.125t－82－12，t∈[0，5]，t∈N，,20＋0.125t－82－12，t∈5，10]，t∈N，,40－2t＋0.125t－82－12，t∈10，16]，t∈N，))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，,0.125t－82＋8，t∈5，10]，t∈N，,0.125t2－4t＋36，t∈10，16]，t∈N.))
当t∈[0,5]，t∈N时，L(t)单调递增，L(t)max＝L(5)＝9.125；
当t∈(5,10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；
当t∈(10,16]，t∈N时，L(t)单调递减，
L(t)max＝L(11)＝7.125.
由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元.
3.(拓广探索)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x>0)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取得最大值的实际意义是什么？
解 由题意知，x∈[1,100]，且x∈N.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
所以P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝－40x＋2 480.
(2)P(x)＝－20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(125,2)))2＋74 125，
当x＝62或63时，P(x)max＝74 120(元).
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)max＝2 440(元).
所以利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)没有相同的最大值.
(3)边际利润函数MP(x)当x＝1时取得最大值，说明生产第二台与生产第一台的利润差最大，即第二台报警系统的利润最大.MP(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减小.
课程标准
学科素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
通过对函数的应用(一)的学习，提升“数学建模”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0
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