人教B版高中数学必修第一册第3章章末综合提升课件+学案

[教师用书独具]

类型1　求函数的定义域与值域

求函数的定义域和值域是考试中常见的题型．求函数的定义域时，注意将自变量x要满足的条件一一列出，不要遗漏；函数的值域就是所有函数值的集合，它由函数的定义域和函数的对应关系确定，所以不论用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法．

【例1】　(1)求函数y＝＋－的定义域；

(2)若定义运算ab＝求函数f(x)＝(x＋2)x2的值域．

[解]　(1)解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．

(2)法一：令x＋2＜x2，得x＜－1或x＞2，

令x＋2≥x2，得－1≤x≤2.

故f(x)＝

当x＜－1或x＞2时，f(x)＞1；

当－1≤x≤2时，1≤f(x)≤4.

∵(1，＋∞)∪[1,4]＝[1，＋∞)，

∴函数f(x)的值域为[1，＋∞)．

法二：由新定义知f(x)的图像如图，

由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值．故f(x)的值域为[1，＋∞)．

1．函数y＝的定义域是________．

[－1,7]　[要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，

即x2－6x－7≤0，得(x＋1)(x－7)≤0，

解得－1≤x≤7，故所求函数的定义域为[－1,7]．]

类型2　求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．

(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f，使用解方程组法．

(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．

【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________；

(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．

(1)f(x)＝

(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)

[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1．

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1．

∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(x)＝

(2)令t＝＝＋1，则t≠1．把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋

＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1．

所以所求函数的解析式为

f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]

2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.

求函数f(x)的解析式．

(1)x＋　[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]

(2)[解]　因为f(x)的对称轴为x＝－1，

所以－＝－1，即b＝2a，

又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，

由条件③知：a>0，且＝0，

即b2＝4ac，由以上可求得a＝，b＝，c＝，

所以f(x)＝x2＋x＋.

类型3　函数的性质及应用

巧用奇偶性及单调性解不等式

(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式．

(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．

【例3】　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．

[思路点拨]　(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；

(2)用单调性的定义求解．

[解]　(1)由题意，得∴

故f(x)＝.

(2)证明：任取－1<x1<x2<1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0.

又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．

类型4　函数的应用

1．对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．

2．对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键．

【例4】　某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)

(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？

[思路点拨]　两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．

[解]　(1)由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD．

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，

则fA(x)＝

fB(x)＝

易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．

(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3(n>500)，

所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．

(3)由题图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)<fB(x)．

当x>500时，fA(x)>fB(x)．

当60<x≤500时，168＝x＋80，解得x＝.

当60<x<时，fB(x)>fA(x)；

当≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．

即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．

3．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．

[解]　(1)由题意知，当30＜x＜100时，

f(x)＝2x＋－90＞40，即x2－65x＋900＞0，

解得x＞45，

∴当x∈(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．

(2)当0＜x≤30时，

g(x)＝30·x%＋40(1－x%)＝40－；

当30＜x＜100时，

g(x)＝·x%＋40(1－x%)＝－x＋58.

∴g(x)＝

易知当0＜x＜32.5时，g(x)单调递减；

当32.5＜x＜100时，g(x)单调递增．

说明该地上班族S中有少于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递减的；有多于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是单调递增的．

当自驾人数占32.5%时，人均通勤时间最少．

1．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增

B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增

D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减

A　[函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．]

2．(2020·天津高考)函数y＝的图像大致为(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

A　[设f(x)＝y＝.由函数的解析式可得：

f(－x)＝＝－f(x)，又其定义域关于原点对称，则函数f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，选项C，D错误；当x＝1时，y＝＝2＞0，选项B错误．]

3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且ƒ(2)＝0，则满足xƒ(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]

D　[法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D．

法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．]

4．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　)

A．∪(2，＋∞)

B．∪(0,2)

C．(－∞，0)∪(0,2)

D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

D　[注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝(x≠0)恰有3个实根即可，令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝(x≠0)的图像有3个不同的交点．因为h(x)＝＝

当k＝0时，此时y＝2，如图1，y＝2与h(x)＝有1个交点，不满足题意；

图1　　　　　图2　　　　　　图3

当k＜0时，如图2，此时y＝|kx－2|与h(x)＝恒有3个不同的交点，满足题意；

当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，

令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2(负值舍去)，所以k＞2.

综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]

5．(2020·浙江高考)已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则(　　)

A．a＜0 B．a＞0

C．b＜0 D．b＞0

C　[由于ab≠0则a≠0且b≠0，根据y＝(x－a)(x－b)·(x－2a－b)的零点为a，b,2a＋b的情况可确定是否满足(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0在x≥0上恒成立．

若a＜0，b＜0，则2a＋b＜0，满足；若a＜0，b＞0，则b≠2a＋b，不满足；若a＞0，b＞0，则2a＋b＞0，不满足；若a＞0，b＜0，则a＝2a＋b即a＋b＝0时满足，综上，只有选项C符合．]