高中数学人教版新课标A必修24.1 圆的方程教案及反思

学员编号：                年    级：             课时数： 3  

学员姓名：                辅导科目：             学科教师：张舒楠

课    题

圆与方程复习

授课日期及时段

教学目的

1、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义,学会判定二元二次方程表示圆的条件,能用这些知识求圆的方程；

2、掌握判断直线与圆的位置关系的方法. 毛

教学内容

一、知识全解

1、确定圆方程的条件

圆的标准方程中，有三个参数，只要求出这时圆的方程就被确定．因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．

确定圆的方程的主要方法有两种：

 一是定义法，二是待定系数法。

 定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；

 待定系数法即列出关于的方程组，求而得到圆的一般方程，一般步骤为：

     (1)根据题意，没所求的圆的标准方程为

     (2)根据已知条件，建立关于的方程组；

     (3)解方程组。求出的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．

2、点与圆的位置关系:

若，则点P在圆上；若,则点P在圆外；若,则点P在圆内；

    3、二元二次方程是否表示圆的条件：

  先将二元二次方程配方得①,

(1)当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；

  (2)当时，方程①表示点；

 （3）当时，方程①没有实根，因此它不表示任何图形.当方程①表示圆时，我们把它叫做圆的一般方程，确定它需三个独立条件且，这就确定了求它的方程的方法——待定系数法，注意用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.

  4、直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种:

   (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究。若有两组不同的实数解，即△>O，则相交；若有两组相同的实数解，即△=0，则相切；若无实数解，即△<0，则相离．[来

   (2)几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断：当<时，直线与圆相交；当=时，直线与圆相切；当>时，直线与圆相离．

  以上两种方法比较：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法.

5、直线与圆相切，切线的求法：

(1)当点在圆上时，切线方程为；

(2)若点在圆上，

     则切线方程为；

(3)斜率为且与圆相切的切线方程为：；

     斜率为且与圆相切的切线方程的求法，可以设切线为，然后变成一般式，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求．

   (4)点在圆外面，则设切线方程为，变成一般式后，利用圆心到直线距离等于半径，解出，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上．

   二、思维误区警示

  1、本章节易犯的错误是圆的性质掌握不够熟练，从而导致在求方程时，方程列不出来或列不全．因此，建议复习一下初中圆的有关性质．

2、本章节的题目，其方法—般不止—种，因此方法的选取尤为重要，方法得当，则思路清晰，解法简明。方法不好，计算量大，且易出错,建议多注意总结。

三、知识点总结：

(1)基础知识:

 1．圆的方程

圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.

圆的一般方程为___________   _________  ____；圆心________  ，半径__________.

二元二次方程表示圆的条件为：

(1)_______ _______；     (2) _______     __ .

     2.直线和圆的位置关系：

 直线，圆，圆心到直线的距离为d.

则：（1）d=_________________；

   （2）当______________时，直线与圆相离；

当______________时，直线与圆相切；

当______________时，直线与圆相交；

（3）弦长公式：____________________.

     3. 两圆的位置关系

圆:； 圆:

则有：两圆相离 __________________；  外切__________________；

  相交__________________________；   内切_________________；

  内含_______________________.

    四、题型总结：

   （一）圆的方程

 1.的圆心坐标             ，半径           .

2．点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是（    ）

 A．－1<<1 B． 0<<1   C．–1<<   D．－<<1

3．若方程所表示的曲线关于直线对称，必有（    ）

 A．   B．   C．    D．两两不相等

4．圆的圆心在（    ）

 A．第一象限　　　B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限

5.若直线与两坐标轴交点为A,B,则以线段为直径的圆的方程是                                                （    ）

A.      B.

C.   D.

6.过圆外一点作圆的两条切线,切点为,则的外接圆方程是（   ）

A.             B. 

C.             D. 

7.过点,且圆心在直线上的圆的方程（    ）

A.           B.

C.            D.

8．圆关于直线对称的圆的方程是  （    ）

 A．  B．

 C．  D．

9．已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程．

10．求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．

2.求轨迹方程

11.圆上的动点，定点，线段的中点轨迹方程             

               。

12．方程所表示的图形是（    ）

   A．一条直线及一个圆         B．两个点

   C．一条射线及一个圆           D．两条射线及一个圆

13．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，

求：（1）动点M的轨迹方程；

   （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

3.直线与圆的位置关系

 14.圆的圆心到直线的距离是（    ）

A.      B.        C.  1       D.

15.过点的直线中,被截得弦长最长的直线方程为              （    ）

A.              B.   

C.              D.

16.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是（ ）

A.      B.     C.     D.

17.圆在点处的切线方程为(    )

A．              B．

C．             D．

18．过点P（2，1）作圆C：x2+y2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（    ）

 A．a＞－3                B．a＜－3      

 C．－3＜a＜－           D．－3＜a＜－或a＞2

19．直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为（    ）

 A．      B．       C．     D．

20．过点M（0，4），被圆截得弦长为的直线方程为     _       _．

21．已知圆C:及直线.

   （1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；

   （2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．

22．已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

4.圆与圆的位置关系

23.圆与圆的位置关系为          

24．已知两圆.求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______            ____．

25．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（    ）

 A．x+y+3=0    B．2x－y－5=0  

 C．3x－y－9=0   D．4x－3y+7=0

26．两圆，的公切线有且仅有（    ）

 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

27．已知圆的方程为，且在圆外，圆的方程为   =，则与圆一定（    ）

    A．相离      B．相切    C．同心圆    D．相交

28．求圆心在直线上，且过两圆，

    交点的圆的方程．

5.综合问题

29.点在圆上,点在直线上,则的最小  （    ）

A      B      C        D

30.若点在直线上,直线分别切圆于两点,则四边形面积的最小值为（    ）

A  24   B  16      C    8      D   4

31. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（    ）

 A．     B．且  

 C．                  D．以上答案都不对

32.如果实数满足求:

（1）的最大值；

（2）的最小值；

（3）的最值.

33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

参考答案

1. ；；2.D；3.C；4.D；5.A；6.D；7.C；8.A；

9．解：解法一：设所求圆的方程是． ①

 因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，

 所以它们的坐标都满足方程①，于是

   可解得

 所以△ABC的外接圆的方程是．

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、

BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．

∵，，

线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为，

∴AB的垂直平分线方程为， ①

 BC的垂直平分线方程． ②

 解由①②联立的方程组可得∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），

半径．

故△ABC外接圆的方程是．

10．解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)，据题意得：

 　，  ∴ ，

 ∴ a =1，   ∴　圆心为(1，－2)，半径为， ∴所求的圆的方程为.

11.；12.D；

13．解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

          P ．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，

 平方后再整理，得 ．  可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．

由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以

      ， ．所以有，   ①

由（1）题知，M是圆上的点，

所以M坐标（x1，y1）满足：②

将①代入②整理，得．

所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．

14.A；15.A；  16.B； 17.D； 18.D； 19.C； 20.x=0或15x＋8y－32=0；

21．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.

(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.

又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:

22．解：由  

又OP⊥OQ，  ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=

∴   解得m=3.

23.相交；  24.；  25.C；  26.B；  27.C；

28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）

 将两圆的方程联立得方程组

 ，

 解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．

 因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点

 （－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，

 即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．

 又，  故所求圆的方程为．

解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）

 同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，

 它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，

 故所求圆的方程为．

解法三：（用待定系数法求圆的方程）

 同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．

 设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方程组 ，解之得，

 故所求圆的方程为．

解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）

 设所求圆的方程为

，

 即  ．

 可知圆心坐标为．

 因圆心在直线上，所以，解得．

 将代入所设方程并化简，求圆的方程．

29.A；  30.C；  31.B；   

32.（1）；（2）；（3） ；.

33．解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．

这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为

   ①  轮船航线所在直线l的方程为

    ，即②

如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果

O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．

    由于圆心O（0，0）到直线l的距离

 ，

 所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．