高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程精练

                                  第3讲  圆的方程

随堂演练巩固

1.点P(2,-1)为圆内弦AB的中点,则直线AB的方程是(    )

A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0

C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0

【答案】A

【解析】因为过圆心和点P的直线垂直于弦AB所在的直线,设圆心C(1,0),直线CP、AB的斜率分别为、则即所以.

又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.

2.已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),C(5,8),下列判断正确的是(    )

A.O、A、B、C四点共圆,且圆的半径为5

B.O、A、B、C四点不共圆,点C在过O、A、B三点的圆外

C.O、A、B、C四点不共圆,点C在过O、A、B三点的圆内

D.O、A、B、C四点共圆,且圆的半径为

【答案】C

【解析】由于

∴过O、A、B三点的圆以AB长为直径.

圆心M(3,4),半径r=.

∴的方程为.

由于

∴点C(5,8)在的内部.

3.由直线y=x+1上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为(    )

A.1 B. C. D.3

【答案】C

【解析】如图所示,设直线上一点P,由P所引圆的切线的切点为Q,圆心为M,则|PQ|即为切线长,MQ为圆M的半径,长度为1,|PQ|

要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线y=x+1上的点到圆心M的最小距离,设圆心到直线y=x+1的距离为d,

则

∴|PM|的最小值为.

∴|PQ|.

4.若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为          .

【答案】

【解析】圆心是AB的垂直平分线和直线2x-y-7=0的交点,则圆心为E(2,-3),r=|EA|故圆的方程为.

课后作业夯基

基础巩固

1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(    )

A.                   B.

C. D.

【答案】A

【解析】设圆的圆心为C(0,b),则

∴b=2.∴圆的标准方程是.

2.若方程表示圆,则a的值是(    )

A.-1 B.2 C.-1或2 D.1

【答案】A

【解析】当方程表示圆时,.

∴方程可转化为.

若方程表示圆,则有

即 也即a=-1时方程表示圆.

3.已知圆的方程为0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为(    )

A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0

C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0

【答案】C

【解析】圆的方程可化为圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x+y+1=0.

∴直线2x+y+1=0过圆心.

4.已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆上任意一点,则△PAB面积的最大值与最小值分别是(    )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】如图,圆心(1,0)到直线AB:2x-y+2=0的距离为故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是最小值是.

又|AB|故△PAB面积的最大值和最小值分别是.

5.若两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆的内部,则实数a的取值范围是(    )

A. B.a>1或

C. D.或

【答案】A

【解析】由 得P(a,3a),

∴.∴故应选A.

6.若圆的圆心到直线x-y-a=0的距离为则a的值为(    )

A.-2或2 B.或

C.-2或0 D.2或0

【答案】C

【解析】∵圆的圆心(1,2)到直线x-y-a=0的距离为∴.∴a=-2或a=0,选C.

7.已知圆C的方程为.设过点(3,5)的直线l将圆C分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l被圆C截得的弦长为(    )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】依题意知劣弧最短时,弦长最短,故过点(3,5)的最短弦长为选B.

8.设A为圆上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是(    )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为所以P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,其轨迹方程为.

9.已知圆C:0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=            .

【答案】-2

【解析】由题意,知直线x-y+2=0需经过圆心,所以从而有a=-2.

10.已知M是圆C:上的动点,点N(2,0),则MN的中点P的轨迹方程是            .

【答案】

【解析】设P(x则

∵

∴点P的轨迹方程是.

11.已知直线:4x+y=0,直线:x+y-1=0以及上一点P(3,-2).求圆心C在上且与直线相切于点P的圆的方程.

【解】设圆心为C(a,b),半径为r,依题意,得b=-4a.

又直线的斜率

∴过P,C两点的直线的斜率

解得a=1,b=-4,r=|PC|.

故所求圆的方程为.

12.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解】设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.

由A(-1,0),B(1,0),令动点则由重心坐标公式:

则 代入整理得

所求轨迹方程为.

13.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程;

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.

【解】 (1)设圆M的方程为.

根据题意,得

解得a=b=1,r=2,

故所求圆M的方程为.

(2)因为四边形PAMB的面积|AM||PA||BM||PB|,

又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,

所以S=2|PA|,

而|PA|

即.

因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,

即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|.

所以四边形PAMB面积的最小值为S=.

拓展延伸

14.已知方程0表示一个圆.

(1)求t的取值范围;

(2)求该圆半径的取值范围;

(3)当t在上述范围内变化时,求该圆圆心的轨迹方程.

【解】(1)方程表示圆的充要条件是+4(1-解得t<1,即t的取值范围是{t|}.

(2)圆的方程可化为[x-

所以.

因此.

(3)设圆心P的坐标为则

消去参数t得.

因此圆心P的轨迹方程为y=4(x-x<4).