人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试课时练习

第三章：数系的扩充与复数的引入

3.1  数系的扩充和复数的概念3.1.1  数系的扩充和复数的概念

典型例题:

1．设z＝为实数时，实数a的值是（ A ）

A.3                                B.－5

C.3或－5                          D.－3或5

2．设关于的方程,若方程有实数根，则锐角和实数根______________________________________.

解：，

3．设复数，试求m取何值时

（1）Z是实数；    （2）Z是纯虚数；   （3）Z对应的点位于复平面的第一象限

解：。。 Z对应的点位于复平面的第一象限。

练习:

一．选择题：

1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四

个顶点对应的复数是（     ）

（A）        （B）       （C）       （D）

2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足　　　　　　　（　 　 ）

（A）m≠－1 （B）m≠6   (C) m≠－1或m≠6  (D) m≠－1且m≠6

3．下列命题中，假命题是(     )

（A）两个复数不可以比较大小     （ B）两个实数可以比较大小

（ C ）两个虚数不可以比较大小   （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小

二．填空题：

4．复数不是纯虚数，则有__________________.

5．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =            

三．解答题：

6．已知复数，满足，且为纯虚数，求证： 为实数。

7．已知关于的方程组有实数，求的值。

3.1.2复数的几何意义

典型例题：

1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是（ C   ）

    A. 圆     B. 线段

    C. 焦点在虚轴上的椭圆 D. 焦点在实轴上的椭圆

2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是________________(圆)           

3. 设满足条件的复数所对应的点的集合表示什么图形?

练习:

一．选择题：

1. 设，则在复平面内对应的点位于（   ）

A.第一象限     B.第二象限      C.第三象限    D.第四象限

2. 设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（    ）

3. 复数不是纯虚数，则有（   ）

二．填空题：

4. 设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为             。    

5. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =                

三．解答题：

6. 设R，若z对应的点在直线上。求m的值。

7. 已知两个向量对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量与的夹角。

3.1复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

典型例题:

1．若复数z满足，则的最小值为（  D  ）

    A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

2．已知正方形ABCD的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），则D点的坐标_____________________.

 解：, 

而表示的复数为,  即表示的复数为

    又, 表示的复数为

    ，

3．

  解：，

，

练习:

一．选择题：

1. 设，则在复平面内对应的点位于（   ）

A.第一象限     B.第二象限      C.第三象限    D.第四象限

2. 设复数= （   ）

 A． B． C． D．

3. 两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一直线上的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

二．填空题：

4. 向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是______________。

5. 如果复数满足,则的最大值是             

三．解答题：

6. 已知为复数，若关于的方程有解，求实数的取值范围.

7. 已知关于x的方程有实根，求的最小值。

  3.2.2复数代数形式的乘除运算

典型例题: 

1. “”是“”的（  A  ）条件

    A. 充分不必要  B. 必要不充分

    C. 充要    D. 既不充分也不必要

2. 计算：_________

解:原式

3.

解法一：

   ，

    ，

    。

  解法二：，  ，

  ，

， ，，， ，。

练习:

一．选择题：

1. 计算的结果为（    ）

    A.   B.   C. 1  D.

2. 若，则z对应的点的轨迹是（     ）

    A. 圆  B. 两点  C. 线段  D. 直线

3. 复数，且，则是（     ）

    A. 实数   B. 纯虚数  C. 非纯虚数  D. 复数

二．填空题：

4. _________________.  

5. 在复数集内分解因式：____________    

三．解答题：

6.

7.

第三章：数系的扩充与复数的引入测试题

一、选择题:

1. 设为复数，则“”是“”的                         （    ）

(A)充分非必要条件  (B)必要非充分条件  (C)充要条件  (D)既不充分又不必要条件

2. 已知，则的值为                    （     ）

(A)-1              (B)4                (C)0            (D)2

3. 已知，，则的关系是　　（　 　）

(A)        (B)         (C)    (D)

4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（    ）

5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（    ）

6. 设，则（    ）

    A.    B.

    C.    D.

7. 计算的结果为（    ）

    A.   B.   C. 1  D.

8. 若，则z对应的点的轨迹是（     ）

    A. 圆  B. 两点  C. 线段  D. 直线

9. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于       (     )

(A) 第一象限     (B) 第二象限      (C) 第三象限     (D)第四象限

10. 设复数z满足                 （     ）

 （A）0 （B）1 （C） （D）2

二、填空题:

11. 设、为实数，且，则+=_________.

12. 已知复数复数满足则复数=______.

13. 若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为          ．

14. 已知虚数()的模为,则的最大值是             ，

的最小值为       .

三、解答题:

15.

16.

17.

18. 若复数z满足，求证：

19. 若复数z满足，求的最大、最小值。

20. 设是关于的方程的两个根，求的值.

参考答案

3.1.1    数系的扩充和复数的概念

1.C 2.Ｄ　3.A   4.a≠0且a≠2  5.    6.

7. a=1,  b=2

3.1.2复数的几何意义

1. D   2.B    3.C    4.      5.    6. m=2  7. α=

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

1.D    2.C     3.D     4.0  5.  

 6. 当； 当，；当，可得.

7. 解：设是方程的实根，则

    当且仅当，即时，|z|取最小值

3.2.2复数代数形式的乘除运算

1.D    2.A    3.B   4. i    5.

 6. ；  

 7．，，

第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案

１．A　　２．B　３．D　４．D　５．D　6．C  7. D   8. A  9.B  10.　C   11.4    12.               13.  14．    15. 证明：充分性：

    , ,。

    必要性：

    ，。

16. 解：

，

17.

 方法一：，

（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。）

 方法二：，

    方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题）

    ，

    而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离，

    由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。

    注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。

18. 证明：设

    ， ，

19. 解法一：数形结合法

    设，则，

    化简，得，。

    表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上。

    由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。

    解法二：利用复数的模的性质

    ，即，去绝对值，得

    解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号

    由，把代入得，解得或

    当时，取最大值； 当时，取最小值。

20. ，

  （1）当，即时，方程有两个实根：，，

       (a)当时，==2；

       (b)当时，=；

  （2）当，即时，方程有两个共轭虚根：，

      =.

  综上所述：=.