数学选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试一课一练

2002－2003学年度上学期

高中学生学科素质训练

高三数学测试题—复数（8）

一、选择题（本题每小题5分，共50分）

1．若复数是虚数，则 （    ）

 A．  B．

 C． D．

2．设的主辐角主值是 （    ）

 A．  B．

 C． D．

3．已知的一个必要但不充分的条件是 （    ）

 A．  B． 

 C．  D．

4．已知复数的模等于 （    ）

 A． B． C． D．

5．已知 （    ）

 A． B． C． D．

6．设复数，则函数的性质适合（    ）

 A．最小正周期为π，值域为 B．最小正周期为π，值域为

 C．最小正周期为值域为] D．最小正周期为值域为

7．复平面上的点z对应复数z=a+bi，（a,b∈R），是z的共轭复数，下列命题

 ①若|z|=1，则； ②是纯虚数；

 ③若点Z在第二象限，则其中正确的是 （    ）

 A．① B．② C．③ D．①②③

8．，则z在复平面内表示的点集是图（    ）中的

 阴影部分.

9．设的根是  （    ）

 A．4个 B．2个 C．3个 D．1个

10．在复平面上有三个村庄A（0，1），B（），O（0，0）（单位：公里），现要建一个自来水厂向这三个村庄供水，适当选取厂址可节约供水管道，则最少需要铺设管道的公里数是                                          （    ）

 A． B． C．2 D．

二、填空题（本题11—14小题每小题4分，15—16小题每小题5分，共26分）

11．集合是       .

12．复数的辐角主值是             .

13．若的三角形式是           .

14．            .

15．设，则m的最大值是           .

16．若的值是           .

三、解答题

17．（本题满分12分）

 若、、b可否比较大小？若不可，说明理由；若可，指明大小关系，并证明你的结论.

18．（本题满分12分）

 已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹.

19．（本题满分12分）

 如图，设P是抛物线上任意一点，以线段OP为一边作正方形OPQR（O、P、Q、R按顺时针顺序排列），利用复数求点R的轨迹.

20．（本题满分12分）

 已知、、2、成

等差数列，求的最大值.

21．（本题满分12分）

 设z为复数，在复平面上已知曲线C1、C2、C3且C1满足，C2满足C3满足C1与C3的两个公共点为A、B，分别过A、B作x轴的平行线交C2于M、N两点，OM、ON的倾角分别为α、β，（O为原点）求cos(α+β)的值.

22．（本题满分4分）

 复平面内曲线C的方程是，Z1、Z2、Z3是曲线C上的点，点Z1所对应的复数是，试确定三角形Z1Z2Z3的个数.

高三数学测试题参考答案--八、复数

一、选择题

1．D  2．C  3．A  4．C  5．D  6．D  7．A  8．C  9．C  10. B

提示：设厂址的位置为Z，则Z到三个村庄的供水管道长为

（公里）其中，等号成立当且仅当z，

同向共线，即∠AZB=∠BZO=∠OZA=120°时，d有最小值公里，图示为

A′B的长.

二、填空题

11．{0，2}    12．θ－π   13． 14．   15．   16．－π

三、解答题

17．解： 为实数，而

 可见a也为实数，∴a，b可比较大小.

18．解：

 ∴Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点.

19．解：设在抛物

线则点R的轨迹为抛物线y2=x，除去顶点（0，0）.

20．解： 得（如图）

 又

21．解：C1为椭圆：

 设把A、B两点的坐标代入直线C3的方程中，得

 ①  ②  ①—②得

22．解：由椭圆定义，已知方程可化为,

 且、的方程分别为y=kx+b、把它们分别与椭

圆方程联立，解得点Z2、Z3的坐标分别为

由和两点的距离公式，化简得①

即②

方程②的判别式

i）当，方程②有相异二实根，则方程①有相异三实根，此时有三个△Z1Z2Z3；

ii）当由②得k=1，则①有一个实根，此时有1个△Z1Z2Z3；

iii）当方程②无实根，则①有1个实根，此时有1个△Z1Z2Z3.

综上可知，当时，有3个△Z1Z2Z3；当时，有1个△Z1Z2Z3.