高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试综合训练题

 www.ks5u.com阶段质量检测（三）

 (时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)

A．－2i　　　　　　　　　 B．2i

C．－4i   D．4i

解析：选C　由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，

故z＝＝＝－4i.

2．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为(　　)

A．1   B．－1

C．±1   D．0

解析：选B　因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.

3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选B　∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

4．复数z＝的共轭复数是(　　)

A．2＋i   B．2－i

C．－1＋i   D．－1－i

解析：选D　z＝＝＝＝－1＋i，

所以其共轭复数为＝－1－i.

5．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　)

A.   B．1

C.i   D．i

解析：选A　＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为.

6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)

A．－2   B．－2i

C．2   D．2i

解析：选C　因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.

7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)

A．若|z1－z2|＝0，则＝

B．若z1＝，则＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·

D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

解析：选D　对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B、C，易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．

8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,3)   B．(－∞，－2)

C．(－2,0)   D．(3,4)

解析：选D　整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.

9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)

A．3－i   B．1＋3i

C．3＋i   D．1－3i

解析：选A　由定义知＝zi＋z，

得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.

10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)

A．b＝2，c＝3   B．b＝－2，c＝3

C．b＝－2，c＝－1   D．b＝2，c＝－1

解析：选B　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是该方程的根，

则1＋i＋1－i＝2＝－b，

(1＋i)(1－i)＝3＝c，

解得b＝－2，c＝3.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．

解析：由题图知z＝2＋i，

则＝＝＝i，

其共轭复数是－i.

答案：－i

12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________.

解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－

＝(1＋i)2＋i＝3i.

答案：3i

13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.

解析：＝＝1－ai，

则＝|1－ai|＝ ＝2，

所以a2＝3.

又因为a为正实数，所以a＝.

答案：

14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．

解析：∵a，b∈R且＋＝，

即＋＝，

∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，

即解得

∴z＝7－10i.

∴z对应的点位于第四象限．

答案：四

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)0.

解：(1)当k2－5k－6＝0，

即k＝6或k＝－1时，z是实数．

(2)当k2－5k－6≠0，

即k≠6且k≠－1时，z是虚数．

(3)当即k＝4时，z是纯虚数．

(4)当即k＝－1时，z是0.

16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：

(1)z1z2；

(2).

解：因为z2＝＝

＝

＝＝1－3i，

所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.

(2)＝＝＝＝＋i.

17．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．

解：∵z1＝＝2＋3i，

z2＝a－2－i，＝a－2＋i，

∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|

＝ .

又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，

∴ ＜，

∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.

∴a的取值范围是(1,7)．

18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．

解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋2i＝x＋(y＋2)i，

由z＋2i为实数，得y＝－2.

∵＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i，

由为实数，得x＝4.

∴z＝4－2i.

∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

根据条件，可知

解得2<a<6.

∴实数a的取值范围是(2,6)．

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．下面三个命题：

①0比－i大；

②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；

③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.

其中，正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　 　 B．1

C．2   D．3

解析：选A　①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．

2．若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1   B．2

C.   D.

解析：选C　法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，

所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，

由复数相等的条件得

解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，

故|z|＝＝.

法二：由z(1＋i)＝2i，

得z＝＝＝i－i2＝1＋i，

所以|z|＝＝.

3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

解析：选A　由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，

所以－a＝1，即a＝－1.

4．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D　∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，

故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.

5．已知复数z＝，则z的实部为(　　)

A．1   B．2

C．－2   D．－1

解析：选D　因为z＝＝＝＝－1＋2i，故z的实部为－1.

6．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为(　　)

A．2－i   B．2＋i

C．1＋2i   D．1－2i

解析：选C　因为a＋i＝，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，

∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，

由复数相等的条件得

解得

∴a＋bi＝1＋2i，故选C.

7．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)

A．1－2i   B．－1＋2i

C．3＋4i   D．－3－4i

解析：选D　＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.

8．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)

A．|z－|＝2y   B．z2＝x2＋y2

C．|z－|≥2x   D．|z|≤|x|＋|y|

解析：选D　|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确．

9．定义运算＝ad＋bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)

A．3－i   B．1＋3i

C．3＋i   D．－1－3i

解析：选D　由已知得zi－z＝4＋2i，

∴z＝＝＝－1－3i.

10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选A　因为＝＝＋i，所以选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.

解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，

故||＝＝2.

答案：2

12．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．

解析：由iz＝－3＋i，

得z＝＝＝1＋3i，

则z的实部为1.

答案：1

13．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．

解析：＝＝＝－i，

因为在复平面内对应的点在第四象限，

所以⇒－6<a<.

答案：

14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．

解析：设1＝x1＋y1i，2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x1x2＋y1y2＝0，

∴1⊥2，∴∠P1OP2＝.

答案：

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

解：z＝(a＋bi)＝2i·i·(a＋bi)

＝－2a－2bi，

由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①

∵复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，

∴|z|＝|z－|，

把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②

又∵z对应的点在第一象限内，

∴a<0，b<0.

由①②，得故所求a＝－，b＝－1.

16．(本小题满分12分)已知z＝(a>0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω.

解：由已知，ω＝×

＝＝

＝＋i，

∴－＝，

∴a＝2(a>0)，∴ω＝＋3i.

17．(本小题满分12分)已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．

(1)求实数a，b的值．

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．

解：(1)把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得

(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.

(2)猜测：－1－i是方程的另一个根．

证明：设另一个根为x2，由根与系数的关系，

得i－1＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.

把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，

∴x2＝－1－i是方程的另一个根．

18．(本小题满分14分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.

(1)求实数a，b的值．

(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．

解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实数根，

∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，

故解得a＝b＝3.

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由|z－3＋3i|＝2|z|，

得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，

即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，

∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．

如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．

∵|OO1|＝，半径r＝2，

∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.