高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试单元测试同步测试题

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试单元测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 已知复数z满足z1+2i=3+i，则复数z的虚部为( )
A.iB.−iC.−1D.1

2. 设复数z=2−3i3，则复数z的虚部是( )
A.2B.−3iC.3D.−3

3. 已知复数z2−i=3i(i为虚数单位)，则复数z对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4. 已知i是虚数单位，复数z=1−ii−12，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5. 已知i为虚数单位，则复数1−i2−i=（ ）
A.−1−3iB.−1+3iC.1−3iD.1+3i

6. i4−4i4+i=( )
A.8−15iB.15iC.8+15iD.−15i

7. 已知z=1−3i1+i，其中i是虚数单位，则|z|=( )
A.3B.5C.2D.3

8. 若复数z=1−2i2，则|1−z|=( )
A.20B.25C.32D.42

9. i是虚数单位，若复数z=2i−1，则z的虚部为（ ）
A.−1B.0C.−iD.1

10. 复数z满足(z−2i)⋅(1+i)＝2（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A.1B.2C.D.

11. 若a，b为实数，且4+ii=a−bi，则b=( )
A.−2B.2C.−4D.4

12. 已知i是虚数单位，则2i1+i=( )
A.1+iB.−1+iC.1−iD.2−2i
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 复数1+i3+4i的共轭复数为________．

14. 5−i1+i=________.


15. 已知复数z满足：(1+i)2z＝4−2i7，则||＝________．

16. 复数z=21−i，(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 已知复数z=m2+2m−8+m2−2mi，m∈R，其中i为虚数单位．
(1)若复数z是实数，求m的值；

(2)若复数z是纯虚数，求m的值．

18. 已知复数z满足z(1+i)=2−i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为________.

19. 若复数z满足：(2+i)z为纯虚数，且|z−1|＝1，求复数z．

20. 已知复数z=2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的一个根．
(1)求p+q的值；

(2)复数w满足z⋅w是实数，且|w|=25，求复数w．

21.
(1)计算2+2i24+5i(5−4i)(1−i).

(2)设复数z的共轭复数为z¯，已知1+2iz¯=4+3i，求复数z及zz¯．

22. 已知复数z1=m−2i，复数z2=1−ni，其中i是虚数单位，m，n为实数.
(1)若n=1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；

(2)若3z1=z2¯2，求m，n的值.
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修1-2数学第3章 数系的扩充与复数的引入单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：设z=a+bi，a，b∈R，
z1+2i=3+i，
即a+bi1+2i=a+2bi2+2a+bi
=a−2b+2a+bi=3+i.
即a−2b=3,2a+b=1,
解得a=1,b=−1,
故复数z的虚部为−1．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的混合运算
【解析】
化简复数为代数形式，根据定义可得虚部．
【解答】
解：z=2−3i3=2+3i，虚部为3．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
先化简复数z，然后判断对应点的坐标即可.
【解答】
解：∵ z2−i=3i，
∴ z=3i2−i=3i(2+i)4−(−1)=−35+65i，
∴ 复数z在复平面对应的点的坐标为(−35,65)，位于第二象限.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
由题可得，z=−(i+1)−12=−32−i,
∴对应的点在第三象限。
故选C.
【解答】
解：由题可得，z=−i(1−i)−12=−(i+1)−12=−32−i，
∴对应的点在第三象限.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−i2−i=2−i−2i+i2=1−3i．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：i4−4i4+i=1−4i4+i
=4+i−16i+4=8−15i.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
测试
【解答】
解：z=1−3i1+i=(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，
则|z|=12+22=5.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
本题考查复数的模，考查运算求解能力．
【解答】
解：∵ z=1−2i2=−3−4i，
∴ 1−z=4+4i，
∴ |1−z|=42+42=42．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的代数形式的运算法则直接求解．
【解答】
∵ i是虚数单位，
复数z=2i−1=2(i+1)(i−1)(i+1)=2(i+1)−2=−1−i，
∴ z的虚部为−1．
10.
【答案】
C
【考点】
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数相等的充要条件
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解b的值．
【解答】
解：由4+ii=a−bi，
得4+i=ai−bi2，
即4+i=b+ai，
∴ b=4.
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)
=i(1−i)=1+i.
故选A.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
725+125i
【考点】
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：∵ 1+i3+4i=(1+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=725−125i，
∴ z¯=725+125i．
故答案为：725+125i.
14.
【答案】
2−3i
【考点】
复数的运算
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)
=5−5i−i+i21−i2
=4−6i2
=2−3i.
故答案为：2−3i.
15.
【答案】
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．
【解答】
由(1+i)2z＝4−2i7，得z＝，
∴ ．
16.
【答案】
1−i
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】
解：因为z=21−i=21+i1−i1+i=1+i，
所以复数z的共轭复数为1−i．
故答案为：1−i．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
解：(1)若复数z是实数，则m2−2m=0，
解得m=0或m=2．
(2)若复数z是纯虚数，
则m2−2m≠0,m2+2m−8=0,
解得m=−4．
【考点】
复数的基本概念
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若复数z是实数，则m2−2m=0，
解得m=0或m=2．
(2)若复数z是纯虚数，
则m2−2m≠0,m2+2m−8=0,
解得m=−4．
18.
【答案】
第四象限
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由z(1+i)=2−i，得z=2−i1+i
=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2
=12−32i，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.
故答案为：第四象限.
19.
【答案】
设z＝a+bi，则(2+i)z＝(2+i)(a+bi)＝2a−b+(a+2b)i，
∵ (2+i)z为纯虚数，∴ 2a−b=0a+2b≠0 ①，
又|z−1|＝1＝|a+bi−1|=(a−1)2+b2=1，
∴ (a−1)2+b2＝1②，
由①②，得a=25b=45 ，∴ z=25+45i．
【考点】
复数的模
【解析】
设z＝a+bi，根据(2+i)z为纯虚数且|z−1|＝1，得到关于a，b的方程，然后解出a，b即可．
【解答】
设z＝a+bi，则(2+i)z＝(2+i)(a+bi)＝2a−b+(a+2b)i，
∵ (2+i)z为纯虚数，∴ 2a−b=0a+2b≠0 ①，
又|z−1|＝1＝|a+bi−1|=(a−1)2+b2=1，
∴ (a−1)2+b2＝1②，
由①②，得a=25b=45 ，∴ z=25+45i．
20.
【答案】
解：(1)∵在复数范围内实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，
∴实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的另一个根是2−i，
故2−i+2+i=−p,2−i2+i=q,
解得p=−4,q=5,
∴p+q=1．
(2)设复数w=a+bia,b∈R，
∴z⋅w=2+i⋅a+bi
=2a−b+a+2bi，
∵z⋅w是实数，
∴a+2b=0，即a=−2b．①
又∵ w=25，
∴ a2+b2=20，②
联立①②，
解得a=4,b=−2,或a=−4,b=2,
∴ 复数w=4−2i或w=−4+2i．
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵在复数范围内实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，
∴实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的另一个根是2−i，
故2−i+2+i=−p,2−i2+i=q,
解得p=−4,q=5,
∴p+q=1．
(2)设复数w=a+bia,b∈R，
∴z⋅w=2+i⋅a+bi
=2a−b+a+2bi，
∵z⋅w是实数，
∴a+2b=0，即a=−2b．①
又∵ w=25，
∴ a2+b2=20，②
联立①②，
解得a=4,b=−2,或a=−4,b=2,
∴ 复数w=4−2i或w=−4+2i．
21.
【答案】
解：(1)原式=4i4+5i1−9i=4−5+4i1+9i1−9i1+9i
=4−41−41i82=−2−2i.
(2)设z=a+bi(a，b∈R)，则z¯=a−bi，
则1+2ia−bi=4+3i，
即a+2b+2a−bi=4+3i，
∴ a+2b=4，2a−b=3，
解得a=2，b=1，
∴ z=2+i，
∴ zz¯=2+i2−i=3+4i5=35+45i．
【考点】
复数的运算
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=4i4+5i1−9i=4−5+4i1+9i1−9i1+9i
=4−41−41i82=−2−2i.
(2)设z=a+bi(a，b∈R)，则z¯=a−bi，
则1+2ia−bi=4+3i，
即a+2b+2a−bi=4+3i，
∴ a+2b=4，2a−b=3，
解得a=2，b=1，
∴ z=2+i，
∴ zz¯=2+i2−i=3+4i5=35+45i．
22.
【答案】
解：(1)因为z1=m−2i为纯虚数，
所以m=0.又n=1，
所以z1=−2i，z2=1−i，
从而z1+z2=1−3i.
因此z1+z2=12+(−3)2=10.
(2)因为3z1=z2¯2，
所以3(m−2i)=(1+ni)2.
由复数相等充要条件得：
3m=1−n2−6=2n，解得m=−83n=−3.
【考点】
复数的模
复数相等的充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为z1=m−2i为纯虚数，
所以m=0.又n=1，
所以z1=−2i，z2=1−i，
从而z1+z2=1−3i.
因此z1+z2=12+(−3)2=10.
(2)因为3z1=z2¯2，
所以3(m−2i)=(1+ni)2.
由复数相等充要条件得：
3m=1−n2−6=2n，解得m=−83n=−3.