高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第一课时教学设计

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)

一、教学目标

1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.从函数观点看一元二次不等式。经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

二、教学重难点

1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

三、教学过程

从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。

1.一元二次不等式的概念

1.1创设情境，引发思考

二次函数与一元二次方程、不等式

在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢?

问题1：【数学情境】园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的矩形区域的面积要大于,则这个矩形的边长为多少米？

【设计意图】通过实际问题，让学生感受“求不等式”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.同时引发学生思考.

1.2探究典例，形成概念

问题2： 【数学情境】在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

【活动预设】通过图象解决不等式求解问题，分析二次函数与一元二次函数不等式之间的关系

    【设计意图】从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。

教师的讲授：

下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系.

如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与x轴的有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根，因此二次函数与x轴的两个交点是（2,0）和（10，0）.

一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点就是.从图2.3-1可以看出，二次函数的两个零点将x轴分成三段.相应地，当x＜2或x＞10时，函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即；当2＜x＜10时，函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即.所以，一元二次不等式的解集是

      因为，因此当围成的矩形的一条边长x满足2＜x＜10，围成的矩形区域的面积大于.

问题3：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集吗？

【设计意图】从实例推广到一元二次不等式的一般解法，引导学生从图象的角度加深对一元二次不等式的理解，为下一个环节作铺垫.

 教师的讲授：

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集

   我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照可分为三种情况.相应地，二次函数（a＞0）的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集（表2.3-1）

问题4：一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？

【活动预设】根据图表给出的信息追问，让学生关联一元二次不等式和一元二次函数的相关知识，关注他们之间的关系。

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．

【设计意图】数形结合，让学生从数和形两个角度深刻地理解一元二次不等式和一元二次函数之间的关系。

3.具体感知，理性分析

问题5：【数学情境】

（1）求不等式的解集.

 (2)求不等式的解集.

【活动预设】根据图象不同交点情况分析此时一元二次不等式的解集

【设计意图】通过实例具体分析感知一元二次不等式的解题思路，让学生也规范求解一元二次不等式的书写.

【预设的答案】（1） （2）

问题6：【数学情境】对于二次项系数是负数的不等式，该怎样求解呢？

【活动预设】求下列不等式的解集：

(1)－2x2＋x－6<0；

(2)－x2＋6x－9≥0；

(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.

因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．

观察图象可得，原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，

根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．

(学生)反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤

(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．

(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．

(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．

(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．

【设计意图】让学生通过实际分析二次项系数为负数和时的情况，为结尾用框图总结三类情况作铺垫

问题7 ：含参数的不等式问题如何求解？

解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.

学生：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，

讨论a＋1与2(a－1)的大小．

(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．

(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.

(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1.

综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，

当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，

当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}．

【设计意图】通过含参数不等式的求解，进一步拓展学生的解一元二次不等式的严谨性训练，体会数学的分类讨论思想。

问题8：如果已经知道不等式的解集，反过来求不等式是什么怎么办？

　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

学生：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，

且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系可知＝－5，＝6.

由a<0知c<0，＝－，

故不等式cx2＋bx＋a<0，

即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，

解得x<或x>，

所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.

【设计意图】逆向思考问题，已知不等式的解集求一元二次不等式，提升学生的思考问题的能力。

四、课外作业

P53页练习

1．知识清单：

(1)一元二次不等式的概念．

(2)二次函数的零点．

(3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．

2．方法归纳：数形结合、分类讨论．