2021学年第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试复习练习题

复数与平行四边形家庭

　　菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，若善于应用条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快的解决方法．下面列举几例，以供参考．

　　一、复数式与矩形的转化

　　例1　已知复数、满足，，且，求与的值．

　　解析：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由于，故，故以， 为邻边的平行四边形是矩形,从而，则；．

　　二、复数式与正方形的转化

　　例2　已知复数、满足，且，求证．

　　证明：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．

　　点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加减法的几何意义的运用是本题考查的重点．

　　三、复数式与菱形的转化

　　例3　已知、，，，求．

　　解析：设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得，

　　∴，∴，因此，是正三角形，∴．

　　点评：本题应用复数模的几何意义来判断四边形的形状，并且应用了余弦定理，使问题解决的很巧妙．

　　例4　求使为纯虚数的充要条件．

　　解析：∵是纯虚数，∴可设．设复数、在复平面上对应的点为、，以，为邻边的平行四边形是菱形，∴，∴．考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．

　　复数的加法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．

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