高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质课时作业

7.3　三角函数的图象和性质

7.3.1　三角函数的周期性

基础过关练

题组一　三角函数的周期

1.函数y=2tan的最小正周期是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.π

2.(2018江苏盐城伍佑中学高一上学期期末)函数f(x)=sin的最小正周期是(　　)

A.π B. C.2π D.-π

3.下列说法正确的是(　　)

A.当x=时,sin≠sin x,所以不是f(x)=sin x的周期

B.当x=时,sin=sin x,所以是f(x)=sin x的一个周期

C.因为sin(π-x)=sin x,所以π是f(x)=sin x的一个周期

D.因为cos=sin x,所以是f(x)=cos x的一个周期

4.(2020山东师范大学附属中学高一期中)函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω=(　　)

A. B.1 C.2 D.4

5.(2019天津河东高一上期末)函数f(x)=2sin的最小正周期为　　　　. 

6.已知函数f(x)=6cos的最小正周期为,求ω的值.

题组二　函数周期性的应用

7.设f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)的值为(　　)

A. B.

C. D.0

8.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足f(x)=则f=　　　　. 

9.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为　　　　. 

10.定义在R上的函数f(x)是以为周期的函数,且f=1,则f=　　　　. 

11.已知函数f(x)=sin,其中k≠0,当自变量x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个周期,求最小正整数k的值.

能力提升练

题组一　三角函数的周期及其应用

1.(2020江西横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期月考,)在函数①y=cos|2x|,②y=tan,③y=cos,④y=|cos x|中,最小正周期为π的函数的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2020江苏丰县民族中学高一月考,)已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为(　　)

A.- B. C.- D.

3.(2020江苏徐州高级中学高一期中,)函数f(x)=的最小正周期是(　　)

A.π B.2π C.1 D.2

4.()已知函数f(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=(　　)

A.- B.- C. D.

5.()函数y=2sin+7的最小正周期是　　　　. 

6.(2020苏北四市期末联考,)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则f的值为　　　　. 

7.()函数f(x)=sin(0<ω<2),若f=1,则函数f(x)的最小正周期为　　　　. 

题组二　函数周期性的应用

8.(2019江苏南通中学第二次月考,)设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数,且x∈[0,2]时, f(x)=(x-1)2.

(1)求f(3);

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.

9.(2019江苏徐州丰县四校联考,)已知f(n)=cos(n∈N*),求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)的值.

10.()已知函数y=5cos(其中k∈N),对任意实数a,在区间[a,a+3)上要使函数值出现的次数不小于4且不大于8,求k的值.

答案全解全析

7.3　三角函数的图象和性质

7.3.1　三角函数的周期性

基础过关练

1.B　T=.

2.A　函数的最小正周期为T==π.

3.A　直接根据周期函数的概念和诱导公式判断.

4.B　根据题意得T==π,解得ω=1,故选B.

5.答案　2

解析　函数f(x)=2sin的最小正周期为=2,故答案为2.

6.解析　函数f(x)=6cos的最小正周期T=⇒|ω|=3π⇒ω=±3π.

7.A　因为函数f(x)=sinx的最小正周期为=12,所以f(1)+f(2)+…+f(12)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)=f(2 017)=f(1)=sin.

8.答案　

解析　由题意知, f=f-×3=f.

9.答案　2或3

解析　f(x)=2tan的最小正周期T=,∵1<T<2,∴<|k|<π,又k∈N,

∴k=2或3.

10.答案　1

解析　函数f(x)的周期为,

∴f=1.

11.解析　函数f(x)=sin的最小正周期T=,由题意知T≤1,即≤1,故|k|≥20π≈62.8,

则最小正整数k的值为63.

能力提升练

1.C　函数y=cos|2x|的最小正周期为π,y=tan的最小正周期为的最小正周期为π,y=|cos x|的最小正周期为π,所以最小正周期为π的函数有3个,故选C.

2.C　f,因为f(x)在R上为奇函数,所以f,故选C.

3.C　因为f(x)=,

所以f(x+1)==f(x),又1<2<π<2π,所以f(x)的最小正周期为1.故选C.

4.B　f(x)=sin的最小正周期T1=的最小正周期T2=,所以sin(T1+T2)=sin.

5.答案　4π

解析　y=2sin+7

=2cos+7

=cos+7,

所以该函数的最小正周期是=4π.

6.答案　-

解析　最小正周期T=⇒ω=10,

故f(x)=sin,

∴f.

7.答案　4π

解析　∵f=1,∴sin=1,则,k∈Z,解得ω=3k+,k∈Z,∵0<ω<2,∴取k=0,得ω=,∴函数f(x)的最小正周期为=4π.

8.解析　(1)∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数,且x∈[0,2]时, f(x)=(x-1)2,

∴f(3)=f(3-2)=f(1)=(1-1)2=0.

(2)∵f(x)的周期为2,

∴当x∈[2,4]时, f(x)=f(x-2),

又∵x-2∈[0,2],

∴f(x-2)=(x-2-1)2=(x-3)2,

∴f(x)=(x-3)2.

即当x∈[2,4]时, f(x)=(x-3)2.

9.解析　∵f(n)=cos(n∈N*)的最小正周期T==8,∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0,

∵100=8×12+4,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=0×12+f(97)+f(98)+f(99)+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=cos+cos π=-1.

10.解析　由5cos,

得cos.

因为函数y=cos x在每个周期内有2次出现函数值,而区间[a,a+3)的长度为3(区间[a,b]的长度为b-a),所以要使长度为3的区间内出现函数值的次数不小于4且不大于8,必须使3不小于2个周期长度,且不大于4个周期长度,

所以2×≤3且4×≥3,解得≤k≤,又k∈N,故k=2或3.