人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布2.2二项分布及其应用教案及反思

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常用的概率分布类型及其特征 [来源][来源][来源]





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3．1 二点分布和均匀分布
1、 两点分布
许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：

其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：
0≤P≤1。
X的期望 E（X）=P
X的方差 D（X）=P（1—P）
2、 均匀分布
如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：

X的期望 E（X）=（a+b）/2
X的方差 D（X）=（b-a）2/12
3．2 抽样检验中应用的分布
3．2．1 超几何分布
假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：

X=0，1，……
X的期望 E（X）=nd/N
X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）
3．2．2 二项分布
超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：
0 x=0，1，……，n
X的期望 E（X）=np
X的方差 D（X）=np（1-p）
3．2．3 泊松分布
泊松分布比二项分布更重要。我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：
（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；
（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；
（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt 内平均发生λΔt 次冲击，它和 Δt 的起点无关。
则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：

X的期望 E（X）=λt
X的方差 D（X）=λt
假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间内的可靠度为：

其中：x =0，1，2，……，λ＞0，t＞0。
3．2．4 x2分布
本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其概率密度形式较复杂，但可由标准正态分布推出。
设有v个相互独立的随机变量X1，X2，…… Xv，它们服从于标准正态分布N（0，1）。记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ，x2读作“卡方”则x2服从的分布称为x2分布。它的概率密度函数为：


该式称为随机变量x2服从自由度为V的x分布。
式中：V—为自由度，是个自然数
x2分布最重要的性质是：


当m为整数时：

3．3 产品的寿命分布
3．3．1 指数分布
指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。
指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布。容易推出：

指数分布有如下三个特点：
1． 平均寿命和失效率互为倒数；
MTBF=1/λ
2． 特征寿命就是平均寿命；
3． 指数分布具有无记忆性。（即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响）
3．3．2 威布尔分布
从上面的描述可知，指数分布只适用于浴盆曲线的底部，但任何产品都有早期故障，也总有耗损失效期。在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况。
将指数分布中的（-λt）替换为（-（t/η）m），就得到威布尔分布。容易得到：





3．3．3 正态分布与对数正态分布
正态分布又称为常态分布或高斯分布。它的概率密度函数为：

式中：-∞＜x＜∞
分布函数记为：

对数正态分布是指：若寿命T的对数lnT服从正态分布N（u，σ），则T服从对数正态分布。它的概率密度函数为：


式中：t，σ为正数，μ和σ分别称为对数正态分布的“对数均值”和“对数标准差”。
3．4 为进行统计推断所构造的分布
3．4．1 t分布（学生氏分布）
t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以及机械概率设计之中。服从t—分布的随机变量记住t。它是服从标准正态分布N（0，1）的随机变量U和服从自由度为v的x2分布的随机变量x2（v）的函数。
它的概率密度函数f（t）为：


3．4．2 F—分布
F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析。服从F分布的随机变量F是两个相互独立的x2分布随机变量x2（v1）和x2（v2）的函数：

式中：F只能取正值。F分布的概率密度函数为：

另外还有β—分布等。
中位秩是β—分布的中位数，一般用下式求出：
中位秩值≈（i-0.3）/(n+0.4)
式中：n为样本总数。

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