数学必修 第二册10.2 事件的相互独立性同步测试题

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课时素养检测

四十二　事件的相互独立性

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.若A与B是相互独立事件,则下列结论中正确的是 (　　)

A.A与B是对立事件

B.A与B是互斥事件

C.与不相互独立

D.A与是相互独立事件

【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必然联系.

2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为              (　　)

A.1    B.0.629

C.0    D.0.74或0.85

【解析】选B.事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74= 0.629.

3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为              (　　)

A.0.64   B.0.32   C.0.56   D.0.48

【解析】选B.设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则“两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(即A),另一种是甲未击中、乙击中(即B),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为P=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32.故选B.

4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为              (　　)

A.0.12   B.0.42   C.0.46   D.0.88

【解析】选D.由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.

5.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=              (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).故选B.

6.假日期间,甲去黄山的概率是,乙去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是              (　　)

A.　　　  B.　　　  C.　　　  D.

【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事件A,B,

则P(A)=,P(B)=,

所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P( )=1-×=.

【补偿训练】

　　　如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,灯亮的概率为              (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选C.记A,B,C,D这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记A与B至少有一个不闭合为事件,

则P()=P(A)+P(B)+P(　)=,

则灯亮的概率为P=1-P( )

=1-P()P()P()=1-=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________. 

【解析】加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.

答案:

8.甲、乙两人投球命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________. 

【解析】事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C,则C=A∪B且A与B互斥,P(C)=

P(A∪B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×==.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.

(1)求恰有一名同学当选的概率;

(2)求至多有两人当选的概率.

【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,

则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.

(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A )+

P( B )+P( C)

=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+

P()·P()·P(C)

=××+××+××=.

(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.

10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.

(1)求这名同学得300分的概率;

(2)求这名同学至少得300分的概率.

【解析】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.

(1)这名同学得300分的概率

P1=P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.

(2)这名同学至少得300分的概率

P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为              (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选A.问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=;第二类,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.

故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.

2.抛掷一枚骰子一次,A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　　)

A.互斥事件

B.相互独立事件

C.既互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

【解析】选B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×.

所以A与B是相互独立事件.

3.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为              (　　)

A.    B.    C.     D.

【解析】选B.甲、乙、丙回老家过节分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=, P(C)=,所以P()=,P()=,P()=.由题知A,B,C为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P( )=P()P()P()=××=,所以至少有1人回老家过节的概率P=1-=.

4.有一个电路,如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,若其闭合的概率都是,且每个开关闭合与否是相互独立的,则灯亮的概率是              (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选B.设事件T为开关A,B中至少有一个不闭合,事件R为开关E,F中至少有一个不闭合,则P(T)=P(R)=1-×=.

设事件M,N分别为开关C,D不闭合,

则P(M)=P(N)=.

所以灯不亮的概率为×××=.

所以灯亮的概率为1-=.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________, P(B)=________. 

【解析】由题意可得

解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,

所以P(B)=P()·P(B)=×=.

答案:　

6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________. 

【解析】分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=, P(C)=,停车一次为事件BC+AC+AB发生,故概率为××+××+××=.

答案:

7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________. 

【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为,,,

则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,

P()=0.3,P()=0.1,

至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.

所以至少两颗预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×

0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+

0.126+0.504=0.902.

答案:0.902

8.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 

【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.

(1)求恰有两个项目成功的概率;

(2)求至少有一个项目成功的概率.

【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,

所以恰有两个项目成功的概率为++=.

(2)三个项目全部失败的概率为××=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.

10.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

【解析】记事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,

P(A3)=,P(A4)=.

(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,

则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××=.

(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则P(C)=P(∪A1∪A1A2)

=P()+P(A1)+P(A1A2)

=+×+××=.

11.在女子十米跳台比赛中,已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9,0.85,求

(1)甲、乙两名选手发挥均正常的概率;

(2)甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率;

(3)甲、乙两名选手均出现失误的概率.

【解析】令事件A,B分别表示甲、乙两名选手发挥正常,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.85.

(1)两名选手发挥均正常的概率P=P(AB)

=P(A)P(B)=0.9×0.85=0.765.

(2)所求事件的对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”,故所求事件的概率P=1-P(AB)=1-0.765=0.235.

(3)依题意可知,所求事件的概率P=P( )

=P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.

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