人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质学案

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学习了y＝sin x，y＝cs x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cs x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．
问题：类比y＝sin x，y＝cs x的图象与性质．
(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
知识点 正切函数的图象与性质
正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？
[提示] 不是．正切函数在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是单调递增的．但在整个定义域上不是单调递增的．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±eq \f(π,2)，k∈Z.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z)))) eq \f(π,2) [由2x≠eq \f(π,2)＋kπ可知x≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，T＝eq \f(π,2).]
类型1 正切函数的奇偶性与周期性
【例1】 (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4x＋\f(π,3)))的最小正周期为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．π D．2π
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(1)A (2)A [(1)T＝eq \f(π,|－4|)＝eq \f(π,4)，故选A.
(2)由题意可知，自变量x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A.]
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)函数f(x)＝eq \f(tan x,1＋cs x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期是eq \f(π,2)，则ω＝________.
(1)A (2)±2 [(1)由题意可知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z,cs x＋1≠0，))∴x≠eq \f(π,2)＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z.
又f(－x)＝eq \f(tan－x,1＋cs－x)＝eq \f(－tan x,1＋cs x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A.
(2)由eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2)可知ω＝±2.]
类型2 正切函数的单调性
【例2】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间．
(1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？
(2)求y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又eq \f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq \f(3π,2)，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]
(2)[解] y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
由－eq \f(π,2)＋kπ＜2x－eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得，
－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)＜x＜eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递减区间为－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的单调递增区间．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°与tan 200°；②tan eq \f(6,5)π与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π)).
[解] (1)由kπ－eq \f(π,2)kπ－eq \f(π,4)所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z.
(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°.
②tan eq \f(6,5)π＝tan(π＋eq \f(π,5))＝tan eq \f(π,5)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,7)))＝tan eq \f(π,7)，
因为－eq \f(π,2)y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，
所以tan eq \f(π,7)即tan eq \f(6,5)π>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π)).
类型3 正切函数图象与性质的综合应用
【例3】 (对接教材P212例题)设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集．
[解] (1)由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x≠eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
因为ω＝eq \f(1,2)，
所以最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
由－eq \f(π,2)＋kπ得－eq \f(π,3)＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))(k∈Z)，无单调递减区间．
由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
故函数f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．
(2)由－1≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))≤eq \r(3)，
得－eq \f(π,4)＋kπ≤eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≤eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
解得eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
解形如tan x＞a的不等式的步骤
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
[解] 由y＝|tan x|得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，值域为
[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.
1．函数f(x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为eq \f(π,2)的奇函数D．周期为eq \f(π,2)的偶函数
D [f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝eq \f(π,2).]
2．若tan x≥1，则( )
A．2kπ－eq \f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－eq \f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(π,4)≤x＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
D [因为tan x≥1＝taneq \f(π,4).
所以eq \f(π,4)＋kπ≤x＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.]
3．比较大小：tan eq \f(13π,4)________tan eq \f(17π,5).
< [因为tan eq \f(13π,4)＝tan eq \f(π,4)，tan eq \f(17π,5)＝tan eq \f(2π,5)，又0所以tan eq \f(π,4)4．求函数y＝tan(π－x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域为________．
(－eq \r(3)，1) [y＝tan(π－x)＝－tan x，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上为减函数，
所以值域为(－eq \r(3)，1)．]
5．已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z [由x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]
学 习 任 务
核 心 素 养
1．能画出正切函数的图象．(重点)
2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)
3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．
2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
单调性
在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上都单调递增
性质
正切函数
正弦函数、余弦函数
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
R
值域
R
[－1,1]
最值
无
最大值为1
最小值为－1
单调性
仅有单调递增区间，不存在单调递减区间
单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性
T＝π
T＝2π
对称性
有无数个对称中心，不存在对称轴
对称中心和对称轴均有无数个