2021学年5.4 三角函数的图象与性质学案

5.4.3　正切函数的性质与图象

必备知识基础练

1.下列说法正确的是(　　)

A．y＝tan x是增函数

B．y＝tan x在第一象限是增函数

C．y＝tan x在某一区间上是减函数

D．y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数

2．比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：

①tan________tan；

②tan________tan.

3．函数y＝tan的单调增区间为________.

4.函数y＝3tan的定义域是(　　)

A.  B.

C.  D.

5．函数y＝tan x的值域是________．

6．函数y＝sin x＋tan x，x∈的值域为________.

7.函数y＝tan的最小正周期是(　　)

A．4   B．4π

C．2π  D．2

8．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)

A．①②③④  B．①③④②

C．③②④①  D．①②④③

9．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围．

(1)tan x>1；

(2)－<tan x<.

关键能力综合练

一、选择题

1．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)

A．±1  B．1

C．±2  D．2

2．函数f(x)＝tan的单调增区间是(　　)

A.，k∈Z

B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

3．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝  B．x＝－

C．x＝  D．x＝

4．函数y＝tan x＋是(　　)

A．奇函数 

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

5．函数y＝(－<x<且x≠0)的值域是(　　)

A．(－1,1)     B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(－1，＋∞)

6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

二、填空题

7．函数y＝的定义域为________．

8．已知函数f(x)＝2tan(a>0)的最小正周期是3.则a＝________，f(x)的对称中心为________．

9．(探究题)函数y＝tan，x∈∪的值域为________．

三、解答题

10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

学科素养升级练

1．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于成中心对称

D．图象关于直线x＝成轴对称

2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．

3．(学科素养—数学抽象)是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．

答案

必备知识基础练

1．解析：由正切函数的图象可知D正确．

答案：D

2．解析：①tan＝tan，且0<<<，

又y＝tan x在上单调递增，

所以tan<tan，即tan<tan.

②tan＝tan，tan＝tan，

因为0<<<，又y＝tan x在上单调递增，

所以tan<tan，则tan<tan.

答案：①<　②<

3．解析：由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是，k∈Z，

故令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，

得－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z，

即－＋<x<＋，k∈Z.

故y＝tan的单调递增区间是，k∈Z，无单调递减区间．

答案：，k∈Z

4．解析：由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．

答案：C

5．解析：∵y＝tan x在，上都是增函数，∴y≥tan＝1或y≤tan＝－1.

答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)

6．解析：∵y＝sin x和y＝tan x两函数在上都是增函数，∴x＝－时，ymin＝－－1，

当x＝时，ymax＝＋1.

答案：

7．解析：函数y＝tan的最小正周期T＝＝2，故选D.

答案：D

8．解析：y＝tan(－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.

答案：D

9．解析：(1)观察正切曲线(图略)，可知tan＝1.在区间内，满足tan x>1的区间是.

又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x>1的x的取值范围是(k∈Z)．

(2)观察正切曲线(图略)，可知tan＝－，

tan＝.在区间内，满足－<tan x<的区间是.

又由正切函数的最小正周期为π，可知满足－<tan x<的x的取值范围是(k∈Z)．

关键能力综合练

1．解析：由题意可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1.

答案：A

2．解析：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，得－＋kπ＜x＜＋kπ，故f(x)的单调增区间是，k∈Z.

答案：C

3．解析：当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．故选D.

答案：D

4．解析：函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，所以函数y＝tan x＋是奇函数．

答案：A

5．解析：∵－<x<且x≠0，∴－1<tan x<1且tan x≠0，∴∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.

答案：B

6．解析：当x∈时，sin x>0，tan x<0，y＝tan x＋sin x－(sin x－tan x)＝2tan x；当x∈时，sin x<0，tan x>0，y＝tan x＋sin x－(tan x－sin x)＝2sin x．当x＝π时，y＝0，故选D.

答案：D

7．解析：若使函数y＝有意义，

需使tan x－1>0，即tan x>1.

结合正切曲线，可得kπ＋<x<kπ＋(k∈Z)．

所以函数y＝的定义域是(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

8．解析：函数f(x)＝2tan(a>0)的最小正周期是3，则3＝，得a＝，

所以函数f(x)＝2tan，

由πx＋＝kπ，k∈Z，得x＝k－，故对称中心为，k∈Z.

答案：　，k∈Z

9．解析：∵x∈∪，

∴＋∈∪，

令t＝＋，

由y＝tan t，t∈∪的图象(如图所示)．

可得，所求函数的值域为∪[，＋∞)．

答案：∪[，＋∞)

10．解析：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.

因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，所以φ＝.

故f(x)＝tan.

(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得

－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，

即－＋<x<＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．

(3)由(1)，知f(x)＝tan.

由－1≤tan≤，得

－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，

即－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为

.

学科素养升级练

1．解析：令kπ－<x＋<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB.

答案：AB

2．解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1,1]，

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]．

答案：[－4,4]

3．解析：∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，

∴a＜0.

又x∈，∴－ax∈，

∴－ax∈，

∴

解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．

令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，

∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．