人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和学案

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某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？原来有多少根钢管？
[提示] 78 39
知识点1 等差数列的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝An2＋Bn＋C，其中A，B，C为常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？
[提示] 当C＝0时，该数列是以A＋B为首项，2A为公差的等差数列；当C≠0时，该数列不是等差数列(上述内容解答了教材第25页[探索与研究](2))．
由此，我们得到等差数列的另一种判定方法——前n项和公式法．
拓展：等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}一定不是等差数列．( )
(3)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
知识点2 等差数列前n项和的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式不难推证等差数列的前n项和具有如下性质：
(1)项数的“等和”性质：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(nam＋an－m＋1,2)．
(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．
运用Sn＝eq \f(na1＋an,2)及等差中项的有关性质，可以得到：
S2n－1＝eq \f(2n－1a2n－1＋a1,2)＝(2n－1)an，即S2n－1＝(2n－1)an；
S2n＝eq \f(2nan＋an＋1,2)＝n(an＋an＋1)，即S2n＝n(an＋an＋1)．
(3)与项数有关的“奇偶”性质：
①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1)，eq \f(am,bn)＝eq \f(2n－1,2m－1)·eq \f(S2m－1,T2n－1)．
(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．
(6)由公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)得eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．
由等差数列的函数特性知，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(Sn,n)))(n∈N＋)在一条直线上．
从而，eq \f(Sn,n)－eq \f(Sm,m)＝eq \f(n－m,2)d(m，n∈N＋)．
2．已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝25，则S7等于( )
A．5 B．15 C．30 D．35
D [因为{an}为等差数列，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝25，得a4＝5，所以S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝35．故选D．]
类型1 等差数列前n项和Sn中基本量的计算
【例1】 在等差数列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31．
[解] (1)∵Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8a1＋28d＝48，,12a1＋66d＝168，))
解方程组得a1＝－8，d＝4．
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝44．
(3)S31＝eq \f(a1＋a31,2)×31＝a16×31＝3×31＝93．
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
[跟进训练]
1．在等差数列{an}中．
(1)a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n．
[解] (1)由题意，得Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)－\f(3,2))),2)＝－5，解得n＝15．
又a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，
∴d＝－eq \f(1,6)．
(2)由已知，得S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，))
解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝5，,a1＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝7，,a1＝－1.))
类型2 等差数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，则S3m＝________；
(2)已知等差数列{an}中，若a1 011＝1，则S2 021＝________；
(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋2,n＋3)，则eq \f(a5,b5)＝________．
(1)210 (2)2 021 (3)eq \f(5,3) [(1)法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma1＋\f(mm－1,2)d＝30， ①,2ma1＋\f(2m2m－1,2)d＝100， ②))
②－①，得ma1＋eq \f(m3m－1,2)d＝70，
所以S3m＝3ma1＋eq \f(3m3m－1,2)d
＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ma1＋\f(m3m－1,2)d))＝3×70＝210．
法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
所以30、70、S3m－100成等差数列．
所以2×70＝30＋S3m－100．所以S3m＝210．
法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)d，
所以eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq \f(d,2)．
即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))构成首项为a1，公差为eq \f(d,2)的等差数列．
依题中条件知eq \f(Sm,m)、eq \f(S2m,2m)、eq \f(S3m,3m)成等差数列，
所以2·eq \f(S2m,2m)＝eq \f(S3m,3m)＋eq \f(Sm,m)．
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)
＝210．
(2)法一：∵a1 011＝a1＋1 010d＝1，
∴S2 021＝2 021a1＋eq \f(2 021×2 020,2)d
＝2 021(a1＋1 010d)＝2 021．
法二：∵a1 011＝eq \f(a1＋a2 021,2)，∴S2 021＝eq \f(a1＋a2 021,2)×2 021＝2 021a1 011＝2 021．
(3)法一：eq \f(a5,b5)＝eq \f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq \f(\f(a1＋a9,2)×9,\f(b1＋b9,2)×9)＝eq \f(S9,T9)＝eq \f(2×9＋2,9＋3)＝eq \f(5,3)．
法二：∵eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋2,n＋3)＝eq \f(n2n＋2,nn＋3)，
∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴eq \f(a5,b5)＝eq \f(20,12)＝eq \f(5,3)．]
通过一题多解可以清晰地看到，在解决等差数列问题时，等差数列前n项和的性质，起到了简化运算的作用.
[跟进训练]
2．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n－2)，则eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝__________．
eq \f(41,78) [因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝eq \f(a10＋a11,b10＋b11)＝eq \f(10a10＋a11,10b10＋b11)＝eq \f(S20,T20)＝eq \f(2×20＋1,4×20－2)＝eq \f(41,78)．]
类型3 等差数列前n项和的最值问题
1．对于等差数列{an}而言，若a1<0，d>0，其前n项和Sn有最大还是最小值？若a1>0，d<0呢？
[提示] 若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
2．当公差d≠0时，Sn是关于n的二次函数，能否借助二次函数的性质求Sn的最值，为什么？
[提示] 可以，但需注意自变量n的取值范围．
【例3】 (对接教材P24例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则数列的前多少项之和最大？并求此最大值．
[思路点拨] 可以多角度分析：借助函数图像，利用函数性质，还可以分析通项等．
[解] 法一：∵Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n(d<0)，
∴Sn的图像是开口向下的抛物线上一群孤立的点，
∵S17＝S9，
∴最高点的横坐标为eq \f(9＋17,2)＝13，
即S13最大，由题意及等差数列的性质可得d＝－2，可求得最大值为169．
法二：∵S17＝S9，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0．
∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0．
∵a1＝25>0，
∴a13>0，a14<0．
∴S13最大，由题意及等差数列的性质可得d＝－2，可求得最大值为169．
法三：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝25，,S17＝S9，))得
17×25＋eq \f(17×16,2)d＝9×25＋eq \f(9×8,2)d，
解得d＝－2．
从而Sn＝25n＋eq \f(nn－1,2)·(－2)＝－(n－13)2＋169．
故前13项之和最大，最大值是169．
法四：同法三，可得d＝－2．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝25－2n－1≥0，,an＋1＝25－2n≤0，))
得eq \f(25,2)≤n≤eq \f(27,2)．
∴当n＝13时，Sn有最大值，为169．
求等差数列前n项和的最值问题的方法
(1)运用配方法，将Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)通项公式法：
①当a1>0，d<0时，数列{an}的正数项有限，前n项和有最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0,an＋1≤0))可求出Sn取得最大值时的n值．
②当a1<0，d>0时，数列{an}的负数项有限，前n项和有最小值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0,an＋1≥0))可得Sn取最小值时的n值．
[跟进训练]
3．在等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13，试求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
[解] 由11a5＝5a8－13，得
11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13．
∵a1＝－3，∴d＝eq \f(5,9)．
an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×eq \f(5,9)，
令an≤0，得n≤eq \f(32,5)，
∴a1∴Sn的最小值为
S6＝6a1＋eq \f(6×5d,2)＝6×(－3)＋15×eq \f(5,9)＝－eq \f(29,3)．
类型4 等差数列前n项和公式的实际应用
【例4】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－eq \f(1,3)．
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，求前n项和Sn，还是求项数n．
[跟进训练]
4．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有( )
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
C [设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
设塔群共有n层，则Sn＝1＋3＋3＋5＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－4))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－4))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－5)),2)×2＝108，
解得n＝12，所以该塔共有12层，故选C．]
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝( )
A．10 B．12 C．20 D．24
D [由S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝120，得a1＋a10＝24．]
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B．eq \f(5,3) C．2 D．3
C [∵S3＝eq \f(a1＋a3×3,2)＝6，而a3＝4，
∴a1＝0，
∴d＝eq \f(a3－a1,2)＝2．]
3．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180 C．200 D．220
B [∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，
∴S20＝eq \f(20a1＋a20,2)＝10×18＝180．]
4．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．
5 [由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中间项a6＝5．]
5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
8 [∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0．
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．应用等差数列前n项和公式解题的基本思路是什么？
[提示] 等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的前n项和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d较好．
2．求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法有哪些？
[提示] (1)用二次函数的性质求解．
(2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)
3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)
1．借助等差数列前n项和公式的推导，培养数据分析的素养．
2．通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升数学运算的素养．
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d