高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程精练

2.2.2　直线的两点式方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2020山西长治二中高二月考)已知三角形三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程是(　　)

A.x-13y+5=0 B.x-13y-5=0

C.x+13y+5=0 D.x+13y=0

解析∵B(3,-3),C(0,2),∴线段BC中点的坐标为D,即D.

则BC边上的中线应过A(-5,0),D两点,由两点式,得,整理得x+13y+5=0.故选C.

答案C

2.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的(　　)

解析两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.

答案B

3.过点P(1,4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有(　　)

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

解析当直线经过原点时,在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0,符合题意;当直线不经过原点时,设直线方程为=1,

由题意得解得

综上,符合题意的直线共有3条.

答案C

4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为(　　)

A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022

解析直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.

答案C

5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为　. 

解析当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;

当a≠1时,由两点式,得,

整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,

在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,

所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.

答案x-(a-1)y+3a-4=0

6.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为　　　　　　　　　　. 

解析设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.

由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,

即x-2y+4=0或x-2y-4=0.

答案x-2y+4=0或x-2y-4=0

7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.

解由两点式方程得AB:,

即AB方程为y=-.

由两点式方程得BC:,

即BC方程为y=-x+1.

由截距式方程,得AC:=1.

即AC方程为y=x+1.

关键能力提升练

8.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是(　　)

A.- B.-

C. D.2

解析由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-.

答案A

9.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　)

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0

C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

解析因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.

答案B

10.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　)

A.无最小值,且无最大值

B.无最小值,但有最大值

C.有最小值,但无最大值

D.有最小值,且有最大值

解析线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.

答案D

11.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)

A.x+y-3=0 B.x+y+3=0

C.x-y-1=0 D.x-y+1=0

解析由题意设直线方程为=1或=1,

把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,

解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.

答案AC

12.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为　　　　　. 

解析设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以=1,即2b+a=ab.

又因为△OAB面积S=|OA|·|OB|=ab,

所以S=ab=(2b+a)≥,

当且仅当2b=a时,等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.

从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.

答案4

13.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　. 

解析设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1,

∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,

当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.

∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.

答案x+2y-6=0

14.已知直线l过点P(4,1),

(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;

(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.

解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.

(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).

令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.

∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.

∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.

学科素养创新练

15.直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:

(1)△AOB的周长为12;

(2)△AOB的面积为6?

若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

解存在.设直线方程为=1(a>0,b>0),

若满足条件(1),则a+b+=12. ①

又直线过点P,2,∴=1. ②

由①②可得5a2-32a+48=0,解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.

若满足条件(2),则ab=12, ③

由题意得=1, ④

由③④整理得a2-6a+8=0,解得

∴所求直线的方程为=1或=1,

即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.

综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.