高中人教A版 (2019)2.2 直线的方程课后练习题

直线方程综合复习

一、选择题

1. 在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点如图若光线QR经过的重心，则AP 等于　　

A. 2 B. 1 C.  D.

2. 已知点与直线l：，则点P关于直线l的对称点坐标为　　

A.  B.  C.  D.

3. 直线关于定点对称的直线方程是 (    )

A.  B.  C.  D.

4. 与直线关于点对称的直线方程是　　

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，，，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则的周长的最小值为(    )

A. 4
B. 5
C. 6
D.
 

6. 若两平行直线：与：之间的距离是，则　　

A. 0 B. 1 C.  D.

7. 两平行直线与间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 过点且与原点距离最大的直线方程为　　

A.  B.  C.  D.

9. 若直线：与：平行，则实数a的值为　　

A. 1 B.  C. 1或 D. 或2

二、填空题

10. 直线与直线关于点对称，则________．
11. 已知点，点Q在直线上，点R在x轴上，则周长的最小值为______．
12. 已知实数x，y满足的最小值为______．
13. 直线和间的距离是______ ．

三、解答题

14. 已知直线l过点
    点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程；
    若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且的面积为4，求直线l的方程．

15. 中，顶点，，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．
    求AB边所在直线的方程；
    求AC边的中线所在直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
16. 设直线：与：．
    若，求，之间的距离；
    若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程．
    
    
    
    
    
    
     
17. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B．
    若P为AB的中点时，求l的方程；
    若最小时，求l的方程；
    若的面积S最小时，求l的方程．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知点与直线
    求M点关于直线l对称点N的坐标；
    求直线l关于点M对称的直线方程．
    
    
    
    
     
19. 中，AB边上的中线CM所在直线方程为，的平分线BN所在直线方程为

求B的坐标；

求直线BC的方程．






 

20. 已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为．
    求顶点C的坐标；
    求的面积．
    
    
    
     

21. 已知中，，，．
    求BC边上的高所在直线方程的一般式；
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，AC边上的高BH所在的直线方程为求
    Ⅰ所在的直线方程；
    Ⅱ点B的坐标．
    
    
    
     

直线方程综合复习

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 在等腰直角三角形ABC中，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点如图若光线QR经过的重心，则AP 等于　　

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】【分析】

此题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题，建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由，Q，R，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．

【解答】

解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示，则，，，

设的重心为D，则D点坐标为，

设P点坐标为，则P点关于y轴对称点为，

因为直线BC方程为，所以P点关于BC的对称点为，
根据光线反射原理，，均在QR所在直线上，，即，

解得，或当时，P点与A点重合，故舍去．

故选C．

2. 已知点与直线l：，则点P关于直线l的对称点坐标为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：设点P关于直线l的对称点坐标为，
可得，
斜率，．
由解得：，．
则点P关于直线l的对称点坐标为．
故选：C．
设点P关于直线l的对称点坐标为，可得，斜率，求解a，b即可．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
 

3. 直线关于定点对称的直线方程是 (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查求直线关于点对称的直线方程，在所求直线上任取一点，则点P关于点M对称的点必在直线上点M是P，的中点，求出点的坐标，然后代入已知直线方程整理即可．
【解答】
解：在所求直线上任取一点，则点P关于点M对称的点必在直线上．
由得，所以，即．
故选B．
 

4. 与直线关于点对称的直线方程是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
考查点线对称性，考查划归思想，特殊与一般思想，抽象概括能力，属于中档题．
直线l关于点A对称后的直线与原直线l平行，对称中心A到两直线l，的距离相等，列方程求解．
【解答】
因为直线关于点对称的直线斜率不变，
故设对称后的直线方程为，
又点到两直线距离相等，
化简得：即或，
方程为舍或，
直线关于点对称的直线方程是．
故选D．
 

5. 已知点，，，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则的周长的最小值为(    )

A. 4
B. 5
C. 6
D.
 

【答案】D

【解析】解：过分别关于作关于直线AB的对称点，关于直线OB的对称点连接
则，，
所以的周长为： ，当且仅当、P、Q、四点共线时等号成立，
依题意可求得，，
所以，
故选：D．
分别作点M关于AB和OB的对称点，，则周长的最小值就是与两点间的距离．
本题考查了点关于直线对称的问题属基础题．
 

6. 若两平行直线：与：之间的距离是，则　　

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】解：由题意，解得，即直线：，
所以两直线之间的距离为，解得，
所以，
故选：C．
化简直线，利用两直线之间的距离为，求出m，即可得出结论．
本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

7. 两平行直线与间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．
【解答】
解：由直线取一点A，令得到，即，
则两平行直线的距离等于A到直线的距离．
故选B．
 

8. 过点且与原点距离最大的直线方程为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查直线方程的求解及两直线垂直的条件，过点且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．
【解答】
解： 根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，
因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为，
所以由点斜式方程得：，
化简得：．
故选B．
 

9. 若直线：与：平行，则实数a的值为　　

A. 1 B.  C. 1或 D. 或2

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．
利用直线与直线平行的性质求解．
​
【解答】
解：直线：，：，，
，
解得或．
当时，两直线重合，
．
．
故选：B．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

10. 直线与直线关于点对称，则________．

【答案】4

【解析】【分析】
本题主要考查直线方程的应用，利用直线的对称性，建立条件关系是解决本题的关键．
【解答】
解：直线与直线关于点对称，
在上取一点，
关于A的对称点在上，则 ，
即，，即，同时C也在直线，则，，
在上取一点，
关于A的对称点在上，则，
即，，即，同时D也在直线，则，，
解得，即，
故答案为4．
 

11. 已知点，点Q在直线上，点R在x轴上，则周长的最小值为______．

【答案】

【解析】【分析】
主要考查求已知点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想．
作出点P与直线的对称点M，点P关于x轴的对称点N，，，于是周长的最小值为线段MN的长．
【解答】
解：设点P关于直线的对称点为，则解得即，
设点P关于x轴对称的点为N，则，所以
故答案为
 

12. 已知实数x，y满足的最小值为______．

【答案】

【解析】解： 表示直线上的点与原点的距离，其最小值就是原点到直线
的距离，
故答案为：．
由题意得，所求的最小值就是原点到直线的距离．
本题考查的意义，以及点到直线的距离公式的应用，其中明确表示直线上的点与原点的距离，
是解决问题的关键．
 

13. 直线和间的距离是______ ．

【答案】3

【解析】解：由题意可得：直线与，
即直线与直线，
结合两平行线间的距离公式得：
两条直线的距离是．
故答案为3．
直线与直线，代入两平行线间的距离公式 ，即可得到答案．
先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离．
 

三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）

14. 已知直线l过点
    点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程；
    若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且的面积为4，求直线l的方程．

【答案】解：若直线斜率不存在，即，此时，点A，B到直线l的距离不相等．
故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为，即，
由题意得：
解之得：或，
故所求直线方程为或
由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，
则l的截距式方程为：，又l过点，的面积为4，
，
解得，
故l方程为，
即．

【解析】若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案；
由题可设l的截距式方程为：，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案．
本题考查的知识点是直线方程的求法，点到直线的距离公式，方程思想，难度中档．
 

15. 中，顶点，，AC边所在直线方程为，AB边上的高所在直线方程为．
    求AB边所在直线的方程；
    求AC边的中线所在直线的方程．

【答案】解：据题意，AB边上的高所在直线方程为 
所以
AB边所在直线的方程为，
即
联立，则AC的中点，
则AC边的中线所在直线的方程为．

【解析】本题考查了相互垂直的直线方程斜率之间的关系、直线的交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
据题意，AB边所在直线的方程为，即可得出
联立，解得，可得AC的中点D，可得AC边的中线所在直线的方程．
 

16. 设直线：与：．
    若，求，之间的距离；
    若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程．

【答案】解：若，则，，
：，：
，之间的距离；
由题意，，，
直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，
时，S最大为，此时直线的方程为．

【解析】若，求出m的值，即可求，之间的距离；
表示直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线的方程．
本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

17. 过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B．
    若P为AB的中点时，求l的方程；
    若最小时，求l的方程；
    若的面积S最小时，求l的方程．

【答案】解：设，，
为AB的中点，
，，
由截距式得l的方程为：，
即；
设所求直线的方程为，由题意知，
令可得，令可得，
即，．
，
当且仅当，即时取等号，取最小值为12，
即直线l的方程为；
由题意设直线的截距式方程为，
直线过，
，
，．
当且仅当即且时取等号，
的面积，
面积的最小值为12，此时直线l的方程为，
即直线l的方程为．

【解析】本题考查直线的截距式方程以及直线l的点斜式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．

由中点坐标公式求出A，B的坐标，直接由截距式方程得答案；
设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件；
由题意设直线的截距式方程为，可得，由基本不等式可得，可得的面积，可得此时直线的方程．
 

18. 已知点与直线
    求M点关于直线l对称点N的坐标；
    求直线l关于点M对称的直线方程．

【答案】解：设，
，N关于直线l对称，
，
解得，，
；
设直线l关于点M对称的直线方程为，
其方程为，
到l与的距离相等，
，
解得或舍，
直线l关于点M对称的直线方程为为．

【解析】本题考查点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，属基础题，难度不大．
设出点N坐标，利用，解出N的坐标即可；
直线l关于点M对称的直线方程为，l与平行，再利用M到l与的距离相等，解得的方程．
 

19. 中，AB边上的中线CM所在直线方程为，的平分线BN所在直线方程为

求B的坐标；

求直线BC的方程．

【答案】解：设，
在直线BN上，
，
因为M是AB的中点，
，
在直线CM上，
，即，
联立方程组，解得，
点坐标为；
设顶点A关于直线BN的对称点为，
，即，
因为因为线段与直线NB垂直，
，即，即，
则，解得，

直线BC的方程为，即 ．

【解析】本题考查直线关于直线的对称点的坐标的求法，函数与方程的思想的应用，考查计算能力，常考题型．
设，利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出B的坐标．
设点A关于直线BN的对称点为，，利用点与直线的位置关系和中点坐标列方程组，即可得出B的坐标，再求得直线BC的斜率，故应用点斜式可得直线BC的方程．
 

20. 已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为．
    求顶点C的坐标；
    求的面积．

【答案】解：关于直线的对称点
的直线方程为，
联立，解得，
．
，AB方程为：，
C到AB的距离，
．

【解析】本题考查了对称性、直线方程、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
关于直线的对称点，可得的直线方程为，联立解出即可得出．
，AB方程为：，利用点到直线的距离公式可得C到AB的距离d，可得面积．
 

21. 已知中，，，．
    求BC边上的高所在直线方程的一般式；
    求的面积．

【答案】解：Ⅰ因为，所以BC边上的高AD所在直线斜率．
所以AD所在直线方程为．
即．
Ⅱ BC的直线方程为：．
点A到直线BC的距离为．，
的面积．

【解析】Ⅰ利用斜率计算公式可得，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC边上的高AD所在直线斜率，再利用点斜式即可得出．
Ⅱ 利用点斜式可得BC的直线方程，利用点到直线的距离公式可得点A到直线BC的距离，再利用两点之间的距离公式可得，即可得出的面积．
本题考查了直线的点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
 

22. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，AC边上的高BH所在的直线方程为求
    Ⅰ所在的直线方程；
    Ⅱ点B的坐标．

【答案】解：Ⅰ因为，所以设AC所在的直线方程为．
把代入直线方程为，解得．
所以AC所在的直线方程为 
Ⅱ设，则AB的中点为．
联立方程组，
化简得，
解得，即．

【解析】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
Ⅰ设AC所在的直线方程为，代入，即可AC所在的直线方程；
Ⅱ设，则AB的中点为联立方程组，即可求出点B的坐标．