高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程优秀学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.2.1 直线的点斜式方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程(重点).
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题(难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
一．直线的点斜式方程和斜截式方程

点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示


方程形式
y－y0＝

适用条件
斜率存在
斜率存在
二．直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的__________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的____________．
三．直线平行、垂直的判断
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2⇔__________________；(2)l1⊥l2⇔__________________．
思考1：经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？

思考2：直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？


【小试牛刀】
1.思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
（1）y轴所在直线方程为y＝0.(　 　)
（2）直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).(　 　)
（3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( 　)
（4）直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　 　)
（5）直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线.(　　)
2.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【经典例题】
题型一 直线的点斜式方程
点拨：点斜式方程的求法
1.求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．
2.斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0．
例1　已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.


【跟踪训练】1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．



题型二　直线的斜截式方程
点拨：直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.



【跟踪训练】2 (1)直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则m的值是(　　)
A．2或 B．2或－ C.－2或－ D．－2或
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.



题型三 斜截式方程的应用
例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2) 当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？




【跟踪训练】3 (1)求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．


(2)如图，直线y＝ax＋的图象可能是(　　)


【当堂达标】
1. (多选)下列四个选项中正确的是(　　)
A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
3.对任意实数a，直线y=ax-3a+2所经过的定点是（       ）
A． B． C． D．
4.若直线经过点，斜率为，则直线的点斜式方程为______．
5.已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．


6.已知点，求三条高所在直线的方程．


【课堂小结】
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．

【参考答案】
【自主学习】
一.k(x－x0) y＝kx＋b
二．纵坐标b　横坐标a
三．k1＝k2且b1≠b2 　k1·k2＝－1
思考1: 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
思考2：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
【小试牛刀】
1.× √　 × × ×
2.C 解析：由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.
【经典例题】
例1　解　因为直线l：y＝x－，所以该直线的斜率k＝.
(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝(x－3).
(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3).
【跟踪训练】1 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
例2 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
【跟踪训练】2 (1) A 解析 令y＝0，解得x＝.由已知得＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或(符合题意)．故选A.
（2）解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
例3 解　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.
【跟踪训练】3证明　(1)法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
(2) B 解析：若a＞0，则＞0，无符合选项；若a＜0，则＜0，选B．
【当堂达标】
1.BC 解析：A不正确．方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立．
2.B 解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，
由图知，k>0，b<0.
3.B 解析：整理为：，所以直线经过的定点为.故选：B
4. 解析：由题意可知，直线的点斜式方程为.
5.解 (1)∵A，B两点的纵坐标均为1，∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，kAC＝tan 60°＝，
kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
6. 解：依题意作图如下：

直线BC的斜率，∴BC边上的高的斜率为，
故其直线方程为：，整理得：；
同理，直线AB的斜率为，其高的方程为：；
直线AC的斜率为，其高的方程为：；
所以BC边：，AB边：，AC边：.