高中人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1　直线与圆的位置关系

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-5,15) B.(-∞,-5)∪(15,+∞)

C.(-∞,4)∪(13,+∞) D.(4,13)

解析圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,解得m<-5或m>15.故选B.

答案B

2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)

A.-2或12 B.2或-12

C.-2或-12 D.2或12

解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,

可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.

答案D

3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)

A.6 B.3 

C.2 D.8

解析∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,

∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.

答案A

4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)

解析由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.

答案ABD

5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不存在

解析由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.

答案B

6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A.- B.-

C.- D.-或-

解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.

又因为反射光线与圆相切,所以=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.

答案D

7.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　. 

解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,

得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,

又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.

答案4

8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m. 

解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:

由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,

所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2m.

答案2

9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.

解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,

设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,

根据点到直线的距离公式,得<1,

即k2<,解得-<k<,

即直线l斜率的取值范围为-.

关键能力提升练

10.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是(　　)

A.相离 B.相切

C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心

解析由题意,得a2+b2>r2,

从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),

所以直线与圆相交但不过圆心.

答案C

11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6] B.[4,8]

C.[,3] D.[2,3]

解析设圆心到直线AB的距离d==2.

点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.

又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',

∴2≤S△ABP≤6.

答案A

12.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为(　　)

A.1 B. 

C. D.2

解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.

答案A

13.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(　　)

A. B.

C.2 D.2

解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,

由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC.

∵四边形PACB的最小面积是2,

∴S△PBC的最小值为1,即rd=1(其中d是切线长),

∴d最小值=2.

∴PC的最小值为.

∵圆心到直线kx+y+4=0(k>0)的距离就是PC的最小值,∴,

∴k=2或k=-2(舍去).

故选D.

答案D

14.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)

A.-1 B.- 

C. D.

解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0),半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.

答案BC

15.(多选题)(2020广东佛山一中高二上期中)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列说法正确的是(　　)

A.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点

B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切

C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切

D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3

解析圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l的距离

d=

=|sin(θ+φ)|,其中tanφ=k.

∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,故A正确;

当θ=0时,d=<1恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,故B错误;

不论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1有解,

即存在实数θ,使得直线l与圆M相切,故C正确;

∵d≤1,∴圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,且d+1≤2,故D错误.故选AC.

答案AC

16.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　. 

解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,

∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.

∴直线l的斜率的取值范围为.

答案

17.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约　　　　　秒(精确到0.1). 

解析以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),

可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),

圆O的方程为x2+y2=1,

由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.

答案4.4

18.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.

(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.

解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.

直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.

设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得

L=2

=2=2.

∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.

(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,

即|m-2a|=2.

∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,

∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.

∵0<a≤4,∴0<≤2,

∴m∈[-1,8-4].

19.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求分别以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.

解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).

设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).

则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,

即x2+y2-2y=2x-1.①

又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②

∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.

∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,

∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.

又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π2+π2+π2=(|PA|2+|PB|2+|PO|2),

∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π,最小值为π.

学科素养创新练

20.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1千米的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.

(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;

(2)当公路PQ最短时,求OQ的长.

解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略).

设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,

由题意可设直线PQ的方程为=1,即bx+4y-4b=0(b>2),

∵PQ与圆A相切,∴=1,解得b=3,

故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.

(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),

则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.

因为PQ与圆A相切,所以=1,

化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;

因此PQ=

=.

因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2≤,解得0<a+b≤4-2,或a+b≥4+2.

因为a+b>4,所以a+b≥4+2,

PQ=(a+b)-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时取等号,

所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+.

答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为(2+)千米时,新建公路PQ最短.