人教版新课标A4.1 圆的方程一课一练

第四章圆与方程

4.1　圆的方程

4.1.1　圆的标准方程

课后篇巩固提升

1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为(　　)

A.(-2,3),1 B.(2,-3),3

C.(-2,3), D.(2,-3),

答案D

2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) (　　)

A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外

解析∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.

答案C

3.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)

A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116

C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116

解析因为A(-4,-5)、B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.

答案C

4.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为(　　)

A.,-4 B.-,4

C.,4 D.-,-4

解析因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=.并且直线经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.

答案A

5.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是(　　)

A.(x-3)2+(y+1)2=4 

B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+(y-1)2=4 

D.(x+1)2+(y+1)2=4

解析根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D.再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确.

答案C

6.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(-1,+∞) 

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C. 

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

解析(法一)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.

过A,B两点的直线方程为y=x+,

即ax-4y+2a=0,令d==1,

化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.

(法二)(数形结合法)

如图,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,故选C.

答案C

7.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为　　　　　　. 

解析圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.

答案x2+(y+1)2=5

8.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是　　　　　. 

解析由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+.

答案(x+2)2+

9.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是　　　　. 

解析由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.

答案5

10.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是 

　　　　　　　　. 

解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.

答案(x+1)2+(y-2)2=5

11.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.

(1)求AD边所在直线的方程;

(2)求矩形ABCD外接圆的方程.

解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.

(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.

又|AM|=,

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.

12.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:

(1)点A在圆的内部;

(2)点A在圆上;

(3)点A在圆的外部.

解(1)∵点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,

即2a+5<0,解得a<-.

故a的取值范围是.

(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-.

(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-.

故a的取值范围是.

13.(选做题)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.

解法一设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=.当a=时,rmin=.

故所求圆的方程为.

解法二易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.

如图,此时r=.

设圆心为(a,-2a+3),

则,

解得a=,从而圆心坐标为.故所求圆的方程为.