高中数学北师大版必修15简单的幂函数精练

2.5简单的幂函数同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知点在幂函数的图象上，则函数是     

A. 定义域内的减函数 B. 奇函数
C. 偶函数 D. 定义域内的增函数

2. 函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值   

A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断

3. 已知幂函数在上增函数，则实数

A. 2 B.  C. 或2 D.

4. 幂函数的图象经过点，则是

A. 偶函数，且在上是增函数
B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是增函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数

5. 函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则的值

A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断

6. 已知幂函数在上是减函数，则实数

A.  B. 2 C. 或2 D.

7. 若奇函数在上是增函数，且最小值是1，则在上是

A. 增函数且最小值是 B. 增函数且最大值是
C. 减函数且最小值是 D. 减函数且最大值是

8. 若幂函数的定义域为，则m的取值是

A.  B. 或
C.  D.

9. 已知幂函数，及直线、、将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ如图所示，那么，幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是

A. Ⅵ、Ⅶ
B. Ⅳ、Ⅷ
C. Ⅲ、Ⅷ
D. Ⅲ、Ⅶ

10. 函数是

A. 奇函数，在区间 上单调递增
B. 奇函数，在区间 上单调递减
C. 偶函数，在区间 上单调递增
D. 偶函数，在区间 上单调递减

11. 幂函数的图象经过点，则是

A. 偶函数，且在上是增函数
B. 奇函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是增函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数

12. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数     

A. 2 B.  C. 4 D. 2或

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知幂函数的图象过点，则 ______ ．
14. 幂函数的图象经过点，那么的值是______．
15. 若幂函数过点，则满足不等式的实数a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为          ，若，则a的值为          ．
17. 已知幂函数的图象经过点，则          ，若，则实数a的取值范围是          ．
18. 已知幂函数的图像过点，则          ，由此，请比较下列两个数的大小：          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
    求在上的解析式；
    若是周期为2的函数，且时，求，时的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知幂函数为偶函数．

求的解析式；

若函数在区间上为单调函数，求实数a的取值范围．






 

21. 已知幂函数的图像关于y轴对称，且．
    求m的值及函数的解析式；
    若，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数为幂函数，且为奇函数．

求m的值；

求函数在的值域．






 

23. 已知幂函数为偶函数．
    求的解析式；
    若在上不是单调函数，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是一般题．
根据题意求出a、b的值，写出的解析式，即可判断它的奇偶性和单调性．

【解答】

解：点在幂函数的图象上，
，解得；
且，解得，
；
函数是定义域上的奇函数，在和上是减函数．
故选：B．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
由幂函数的性质列方程组，求出，从而，由此利用a，，且，根据单调性能推导出．
本题考查函数值之和的符号的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：函数是幂函数，
对任意的，，且，满足，
，解得，
，
，，且，，
，
．
故选：A．  

3.【答案】A
 

【解析】解：幂函数在上增函数，
则，
解得．
故选：A．
根据幂函数的定义与性质，列出方程组求出m的值．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查待定系数法求出幂函数的解析式，以及幂函数奇偶性、单调性的应用，属于基础题．
设幂函数是常数，把已知点代入求出的值，由函数奇偶性的定义判断出是奇函数，由幂函数的单调性，判断出在上的单调性，即可得答案．
【解答】
解：设幂函数是常数，
幂函数的图象经过点，
，则，
即，
函数的定义域是R，且，
是奇函数，
，
在上是增函数，
故选：C．  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查了幂函数的概念和性质，属于中档题．
首先由幂函数的概念求得m旳值，再由单调性进行取舍得出解析式，最后利用单调性比较大小．
【解答】解：由函数是幂函数，
可得，解得或．
当时，
当时，．
对任意的，，且，满足，
所以函数在上是单调递增函数，
故．
又，所以，所以，
则．
故选A．  

6.【答案】A
 

【解析】解：函数是幂函数，
，即，得或，
在上是减函数，
，
得，
故选：A．
根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查幂函数的图象和性质，结合幂函数的定义以及幂函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由奇函数在对称区间上的单调性相同
在上是增函数
又
．
故选：B．
由奇函数在对称区间上的单调性相同得到结论．
本题主要考查奇偶性和单调性的综合应用．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
根据函数y是幂函数得出，求出m的值再验证是否满足定义域为即可．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
【解答】
解：函数是幂函数，
则，
即，
解得或；
当时，，幂函数的定义域为，满足题意；
当时，，幂函数的定义域为R，不满足题意；
所以m的值是3．
故选：D．  

9.【答案】B
 

【解析】解：，
若与，则与，
幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，
故选：B．
若与，则与，从而判断即可．
本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，，
有，则函数为奇函数；
又由，则函数在R上为增函数；
故选：A．
根据题意，由函数的解析式可得，可得函数为奇函数；求出其导数，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查待定系数法求出幂函数的解析式，以及幂函数奇偶性、单调性的应用，属于基础题．
设幂函数是常数，把已知点代入求出的值，由函数奇偶性的定义判断出是奇函数，由幂函数的单调性，判断出在上的单调性，即可得答案．
【解答】
解：设幂函数是常数，
幂函数的图象经过点，
，则，
即，
函数的定义域是R，且，
是奇函数，
，
在上是增函数，
故选：C．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值， 根据幂函数的定义，令，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在上为减函数即可．

【解答】

 解：幂函数，
 ， 解得，或； 
又时为减函数，
 当时，，幂函数为，在为减函数，满足题意； 
当时，，幂函数为，在为增函数，不满足题意； 
综上，，
 故选A 

13.【答案】3
 

【解析】解：由题意，函数是幂函数，所以，
又幂函数过点，
，解得，

故答案为：3
由幂函数过点，将坐标代入，解得的值得到幂函数的解析式，再求即可．
本题考查幂函数的解析式，解题的关键是熟练掌握幂函数的定义及幂函数解析式的形式．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设幂函数为：
幂函数的图象经过点，




故答案为：
先设出幂函数解析式来，再通过经过点，解得参数，从而求得其解析式，再代入求值．
本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，但在构造函数和幂的运算中应用较多．不能忽视．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的定义与性质，根据幂函数过点求出函数解析式，再转化，求出解集即可．

【解答】

解：设幂函数，其图象过点，
所以，
解得，
所以，
因为函数在R上递增，
且，
故，
解得，
所以不等式的实数a的取值范围是．
故答案为．

16.【答案】

4

【解析】

【分析】
本题考查幂函数，根据幂函数的定义，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式．
【解答】
解：幂函数的图象过点， ，
解得；
函数的解析式为．
若，即
解得
故答案为  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，属于中档题．
设幂函数的解析式为，求出解析式，判断单调性，然后求解即可．

【解答】

解：由题意可得，
，
所以，
．
则函数在上单调递增，
由，得，
解得．
故答案为，

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较与的大小．
【解答】
解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，
所以．
故答案为：；．  

19.【答案】解：当时，，
因为函数为奇函数，
又，，，
故当时，的解析式为；
设，则

因为周期为2，，所以2n也是周期，
，
所以时，．
 

【解析】利用奇函数性质分别求出和的解析式，再用分段函数表示．
根据周期函数的性质将转到范围，再利用已知写出．
本题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．
 

20.【答案】解：由为幂函数知，
即，
得或，
当时，，符合题意；
当时，，为奇函数，不合题意，舍去．

由得，
即函数的对称轴为，
由题意知函数在上为单调函数，
对称轴或，
即或．
 

【解析】本题考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．
根据幂函数的性质即可求的解析式；
根据函数在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．
 

21.【答案】解：幂函数的图像关于y轴对称，且；
所以在区间为增函数，
所以，即，解得；
又因为，是偶函数，
所以为偶数，所以；
函数的解析式为：．
不等式，函数是偶函数，在区间为增函数，
所以，
化简得，
解得或，
所以实数a的取值范围是．
 

【解析】根据幂函数的图像关于y轴对称，且知在区间为增函数，且是偶函数，由此求出m的值和的解析式；
根据函数的性质把不等式化为，两边平方求出a的取值范围．
本题考查了幂函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
 

22.【答案】解：函数为幂函数，
，解得或5 ，
又函数为奇函数，
．
由可知，，．
令，则，
，，开口向下，对称轴为，
当时，函数最小值为，
当时，函数最大值为1，
函数的值域为．
 

【解析】本题考查了幂函数和二次函数的性质，也考查了换元法的数学思想，是中档题．
根据幂函数的定义得，解得或5 ，再根据函数的奇偶性，得出结果；
令，则，，，开口向下，对称轴为，根据二次函数的性质，即可得出函数的值域．
 

23.【答案】解：由题意，为幂函数，
所以，
解得：或3，
因为是偶函数，
所以；
，
的对称轴是，
若在上不是单调函数，
则，
解得：，
故实数a的取值范围是．
 

【解析】【试题解析】

本题考查幂函数的解析式、函数的奇偶性，考查二次函数的性质，属于中档题．
根据幂函数的定义求出m的值，再根据函数为偶函数，即可求出函数的解析式；
若函数在上不是单调函数，则，即可求出实数a的取值范围．