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3.3指数函数同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是  

A.  B.  C.  D.

2. 指数函数，在R上是减函数，则函数在R上的单调性为

A. 单调递增
B. 在上递减，在上递增
C. 单调递减
D. 在上递增，在上递减

3. 若，，则函数的图象一定不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 有下列函数：；；；其中指数函数的个数是  

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 若函数且的图象经过第二、三、四象限，则一定有

A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且

6. 设函数，且，若，则     

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为   

A. 1，2， B. 1， C. 2， D.

9. 函数的图象可能是    

A.  B.  C.  D.

10. 函数，且恒过定点，其定点坐标是

A.  B.  C.  D.

11. 函数的图象的大致形状是

A.  B.
C.  D.

12. 函数的图象的大致形状是     

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．
14. 已知函数，，则、满足______．
    A.，
    B.，
    C.
    D.
15. 函数的单调递减区间是          ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

16. 函数的值域是          ，单调递增区间是          ．
17. 函数的单调增区间为          ；值域是          
18. 定义若函数，则最小值为          ，不等式的解集为          ．
19. 函数且的图象恒过定点          ，若该函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

20. 设b为正实数，若是奇函数．

求a，b的值；

若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．






 

21. 已知定义在R上的函数满足：对任意x，都有，且当时，．

求的值，并证明为奇函数；

判断函数的单调性，并证明；

若对任意恒成立，求实数k的取值范围．






 

22. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为20，记．
    求a的值；
    证明；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 设函数，且函数的图象关于直线对称．求函数在区间上的最小值；
    设，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知不等式．

求不等式的解集A； 

若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围






 

25. 函数的定义域为．
    Ⅰ设，求t的取值范围；
    Ⅱ求函数的值域．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．

【解答】

解：原式变形为：恒成立，
函数是R上的单调递增函数，
恒成立，
即恒成立，
，
解得．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了指数函数的单调性以及幂函数的性质的问题，是基础题．
根据指数函数的单调性判定a的取值范围，从而判定函数的单调性，得出正确选项．
【解答】
解：指数函数在R上是减函数，
，
，
而函数在R上是递增的，
函数在R上递减，
故选：C．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数的应用及函数图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
由可得函数单调递增，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论．
【解答】
解：由可得函数单调递增，且过第一、二象限，
，，
的图象向下平移个单位即可得到的图象，
的图象一定在第一、二、三象限，一定不经过第四象限，
故选：D．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的概念，属于基础题．
根据指数函数的定义和表达式的要求即可得解．

【解答】

解：形如，且的函数称为指数函数，
只有是指数函数．
故选：B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数及其性质，考查函数图像的平移，属于基础题．
根据，且的图象不经过第一象限，可得a的范围，经过第二、三、四象限，则需将的图象向下平移至少大于1个单位，由此可得b的范围．
【解答】
 解：，且的图象是由的图象经过向上或向下平移而得到的，
因其图象不经过第一象限，所以．
又因为经过第二、三、四象限，
所以需将的图象向下平移至少大于1个单位，
即．
故选C．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查指数型函数性质，属于基础题．
先求出函数的解析式，再求出函数值比较大小即可．

【解答】解：由题意可得，，
，
则．
故选A．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的值域问题，涉及指数函数的性质，属基础题．
分段研究函数值域，考虑何时取并集之后符合要求，列关于a的不等式组，即可得解．

【解答】

解：由于时，， ，
要使的值域为R，则，解得．
故选B．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义的理解和应用，要求学生掌握利用分离常数法求函数的值域的方法，是中档题．
分离常数法化简，根据新定义即可求得函数的值域．

【解答】

解：因为，
而，，，
则，，
所以．
当时，；
当时，．
综上可知，函数的值域为．
故选D 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．

【解答】

解：函数的图象可以看成把函数的图象向下平移个单位得到的，
当时，函数在R上是增函数，且图象过点，故排除A，B；
当时，函数在R上是减函数，且图象过点，故排除C．
故选D．

10.【答案】D
 

【解析】解：令，解得：，
此时
故函数恒过定点，
故选：D．
根据，求出对应的x，y的值即可．
本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．
 

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数及指数函数的图象和性质，属于基础题．
先将函数写成分段函数的形式，然后利用指数函数的性质求解．

【解答】

解：因为 ，
由指数函数的性质知：在函数单调递减，在单调递增，
观察四个图象只有D符合．
故选D 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了指数函数的图象与性质，考查了函数的单调性，属于基础题．
先将函数转化为：，判断出单调性，进而求出结果． 
【解答】
解：将函数化简为：， 
， 
在上减函数， 在上增函数．
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，以及指数函数的性质，属中档题．
函数在上是减函数，恒成立等价于，求m取值范围．
【解答】

解：原不等式变形为，
因为函数在上是减函数，
所以．
当时，恒成立等价于，

解得．
故答案为．

14.【答案】ABC
 

【解析】解：，故A正确，
为增函数，则，成立，，，故B正确，
，故C正确，
，故D错误，
故答案为：ABC．
根据函数解析式分别代入进行验证即可．
本题主要考查函数解析式的应用，结合指数幂的运算法则是解决本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复合函数的单调性，属于基础题．
利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数，，由同增异减的结论求解．

【解答】

解：令，
在上是增函数，上是减函数，
又是减函数，
根据复合函数的单调性可知：
函数的单调递减区间为，
故答案为：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查配方法求二次函数的值域、指数函数和复合函数的单调性，属于基础题．
，根据可得函数的值域；根据复合函数单调性的求法可得函数单调性．

【解答】

解：，

R，，，
函数的值域为
在单调递增，在R上单调递增，
的单调递增区间为．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了复合函数单调性和值域的求解，复合函数值域的求解方法通常用换元法，其中需要注意的是要准确求得新元的范围，解题中用到了整体思想．
先令，则函数在单调递减，在单调递增，利用复合函数单调性的求法可得答案；根据函数的值域，可得原函数的值域．

【解答】

解：令，其对称轴为，且开口向上，

由二次函数性质得：函数在单调递减，在单调递增，且；
又函数为单调递减函数，

所以由复合函数单调性判断法则得：原函数的单调增区间是；

因为，
所以原函数的值域为．
故答案为；．

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查分段函数的运用，考查新定义的理解和运用，同时考查一次函数与指数函数的单调性及应用，属于中档题．
在中，令，得x的值，对x讨论，即可求的最小值，讨论和，即可求解
【解答】
解：令，解得，
即为增函数，为减函数，
当时，，
即，
当时，，
，
故的最小值为，
当，解得，
当，解得，
故不等式的解集为，
故答案为，．  

19.【答案】

2

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了指数函数的单调性，是中档题．
令即可求出函数过的定点坐标，根据函数在区间上的最大值与最小值在区间端点处取得，得到，从而求出a的值．

【解答】

解：，
令得：，此时，
函数的图象恒过定点，
函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
，
，
整理得，
或，
解得或，
又且，
．
故答案为：；2．

20.【答案】解：定义域为R的函数是奇函数．
，解得．
令，则，解得．
．
检验：其定义域为R，
且
，
是奇函数．，．
由得：．
在R上单调递增，在R上单调递减，
在R上单调递减．
由对任意的，不等式恒成立，

，化为，
．
的取值范围为
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由定义域为R的函数是奇函数可得，，联立即可解得a，b，并验证即可．
由得：，利用在R上单调递增，可得在R上单调递减再利用奇偶性可得：对任意的，不等式恒成立，求解即可．
 

21.【答案】解：令，得 ，所以 ．
证明： 令，得，
所以，所以为奇函数．
设
，
时，，又，

即当时
是R上的增函数．
由题知：，
即，
又是定义在R上的增函数，
所以对任意恒成立，
所以，
即，
令，，
则，所以，
当 时，，
所以．
即实数k的取值范围为．
 

【解析】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性和奇偶性的判断及应用，不等式恒成立问题．
先利用赋值法，求证，令即可求证；
设，由已知条件得即，判断的正负结合单调性定义即可证明；
由函数的奇偶性和单调性，可将不等式转化为，利用换元法令，转化为求关于t的二次函数的最值即可．
 

22.【答案】解：函数且在上单调递增或单调递减，
所以舍去，
即
由知
所以
；
由知，

，
所以原式．
 

【解析】本题考查指数与指数幂的运算，考查指数函数的性质，属于中档题．
利用指数函数的单调性即可；
利用指数幂的运算即可；
寻求规律易得结果．
 

23.【答案】解：因为关于直线对称，所以，

故  ，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，  的最小值为

 可化为，

化为，

令，则， 

因故，

记，其对称轴为，

因为，
故当时，取得最小值，，

所以k 的取值范围是．

【解析】本题考查指数函数和二次函数的性质，同时考查不等式恒成立问题．

利用二次函数的性质求出t，进而求出在上的最小值；

由不等式在上恒成立，分离参数k，构造函数，借助二次函数的性质求出函数的最小值，求出k的取值范围．

24.【答案】解：由已知可得：
因此，原不等式的解集为；

令，则原问题等价于，

且，令

可得，

当时，即当时，函数取得最小值，即，．

因此，实数m的取值范围是．

【解析】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题．

利用对数函数的单调性以及真数大于零得出关于实数x的不等式组，解出即可；

令，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数m的取值范围．

25.【答案】解：Ⅰ在上单调递增，
；
Ⅱ 函数可化为：，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
比较得，
，，
函数的值域为
 

【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于中档题．
Ⅰ由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
Ⅱ由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域．