北师大版必修1第二章 函数4二次函数性质的再研究达标测试

2.4二次函数性质的再研究同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为

A.  B.
C.  D.

2. 方程有两个实根，，且满足，则m的取值范围是

A.  B.
C.  D.

3. 若函数的定义域、值域都是，则     

A.  B.  C.  D.

4. 若二次函数在区间内至少存在一实数c，使，则实数p的取值范围为

A.  B.  C.  D.

5. 设，且，则的解集是

A.  B. R
C.  D.

6. 为了得到函数的图象，可将下列哪个函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到   

A.  B.
C.  D.

7. 函数，的值域

A.  B.  C.  D.

8. 将二次函数向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图像的解析式为

A.  B.
C.  D.

9. 已知函数，的值域是，则实数m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 函数在区间上是

A. 减函数 B. 增函数 C. 先递减再递增 D. 先递增再递减

11. 已知函数满足，则的值是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 与a，b有关

12. 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，是一二次方程的两根，则______．
14. 若函数在区间和上均为增函数，则实数a的取值范围是          ．
15. 若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是______．
16. 若二次函数在区间上是单调増函数，则实数m的取值范围是______．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

17. 函数，则其图象的对称轴方程为      ；的增区间是      ．
18. 将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图像，则          ，           
19. 我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：函数的图象可由的图象向          平移          个单位得到．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

20. 已知二次函数满足，且．

求函数的解析式；

令，

若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围．

求函数在区间上的最小值．






 

21. 已知函数，．
    当时，求函数的最大值和最小值；
    求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 二次函数的图象过点，并关于y轴对称，且方程有两个相等的实数根，将函数的图象向右平移1个单位长度，向下平移个单位长度，得到函数的图象．

求的解析式．

求的解析式．

是否存在实数m，n，使函数在区间上是单调函数，且其值域为若存在，求出m，n的值若不存在，请说明理由．






 

23. 已知函数满足，对于任意都有，且．
    求函数的表达式；
    令，研究函数在区间上的零点个数．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查恒成立问题以及二次函数的性质，属于中档题．
利用分离参数法，再求出对应函数在上的最小值，即可求m的取值范围．
【解答】
解：由题意，，可得．
当时，，
不等式等价于．
当时，的最小值为，
若要不等式恒成立，
则必须，
因此，实数m的取值范围为，
故选：D．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，利用二次函数的知识是解决本题的关键，属于中档题．
将方程转化为函数，利用一元二次方程根的分布，转化为关于m的一元一次不等式组，求解即可得到结论．
【解答】
解：设，
关于实数x的方程的两个实根、满足，
，即
解得，，
故选：A．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义域和值域，属于基础题．
函数是二次函数，可以利用它的图象，得到它在区间上必定是单调递增函数，由此得到，解得，或，再根据区间有意义必须，求出b的值．
【解答】
解二次函数图象是一条抛物线，
开口向上，且对称轴为，
在是单调递增函数，
函数定义域，值域都是，
且，，
即，
解得，或舍，
故选：A．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，属于中档题．
若对于区间内的任意一个x都有，列不等式组求出p的范围，即可求解．
【解答】
解：若对于区间内的任意一个x都有，
由，求得或．
若二次函数在区间内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是：，
故选：B．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质与一元二次不等式的解法，是基础题．
由，且，解得，故，由此能求出的解集．
【解答】
解：，且，
，
解得．
，
的解集为．
故选：C．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数图象的变换，属于基础题．
利用函数图象的平移变换，即可求解．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
其向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，
得抛物线的顶点坐标为，
所以二次函数的解析式为，
故选B．  

7.【答案】C
 

【解析】解：的对称轴
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最大值5，
当时，函数有最小值，
即函数的值域．
故选：C．
先求的对称轴，进而利用函数的图象特征求值域．
本题主要考查二次函数的值域的求解，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数图象的平移根据“左加右减，上加下减”进行解答．
【解答】
解：向左平移1个单位是，再向下平移1个单位
是
故选A．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的值域问题，属于基础题．
根据二次函数的性质求解即可．

【解答】

解：因为函数在区间上是增函数，在上是减函数，
且，，
所以函数在区间上的值域是，必有．
故选：B．

10.【答案】C
 

【解析】解：函数
对称轴为
并且抛物线开口向上，
函数在区间上先递减再递增．
故选：C．
由于抛物线开口向上，故只需判断对称轴与区间的关系即可判断出单调性．
此题主要考查了二次函数的单调性，属基础题．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题．
对a分类讨论，即可求解．
【解答】
解：，且，
当时，由题意知，此时
当时，函数的图象是抛物线，对称轴为，
．
故选：C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：的对称轴为，
在区间上是减函数，开口向上，
则只需，
即．
故选：C．
先由得到其对称轴，再由在区间上是减函数，则有，计算得到结果．
本题主要考查二次函数的单调性，研究的基本思路是：先明确开口方向，对称轴，然后研究对称轴与区间的相对位置．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，是一二次方程的两根，
，，
，
故答案为：
由已知结合韦达定理，可得，，进而根据代入可得答案．
本题考查的知识点是根与系数的关系韦达定理，难度不大，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的函数的单调性与单调区间，属于基础题．
直接根据题意，函数，分当和当时两种情况求出a的取值范围即可．
【解答】
解：根据题意，函数．
当时，，
若在区间上为增函数，
则有，解得
当时，，
若在区间上为增函数，
则有，解得
综上可得，，即a的取值范围为．  

15.【答案】
 

【解析】解：因为函数在上是单调函数，
所以或，
解得或．
实数a的取值范围是．
故答案为：．
由函数在上是单调函数，得到或，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
由二次函数在区间上是单调増函数，得到，由此能求出实数m的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：二次函数在区间上是单调増函数，
，解得，
实数m的取值范围是．
故答案为：．  

17.【答案】2

【解析】解：根据题意，，
其对称轴为，且开口向上，
则的递增区间为；
故答案为：2，
根据题意，，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，关键是掌握二次函数的性质，属于基础题．
 

18.【答案】

6

【解析】

【分析】

此题考查函数图象的平移变换，可反过来考虑，将函数向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到求出函数的解析式，从而求出b、c的值．

【解答】

解：将函数向右平移2个单位，得函数，

向下平移3个单位，得函数，

则，．

故答案为，6．

19.【答案】上

1

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象的变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：有题意可得：函数的图像向上移动1个单位得到的图像．
故答案为上，1．  

20.【答案】解：  设，

，

，，

，，

又，，

．

，

其图象的对称轴为，

在上不单调，

，

．

当，即时，

；

当，即时，

；

当，即时，

；

综上，

【解析】

【分析】设出函数的解析式，利用已知条件，列出方程求解即可．
，函数在区间上不是单调函数，利用二次函数的对称轴，列出不等式，求实数m的取值范围
通过二次函数的对称轴与区间的关系，分类讨论求函数在区间的最小值．  

21.【答案】解：当时，函数的对称轴为，
在区间单调递减，在单调递增，
  且，，
，；
在区间上是单调函数，
对称轴或，
 解得：或．
 

【解析】   本题考查了二次函数的单调性以及最大最小值问题，属于常见题型，应该熟练掌握．
直接将代入函数解析式，求出最大最小值．
先求的对称轴，所以若在区间上是单调函数，则区间在对称轴的一边，所以得到，或，这样即得到了a的取值范围．
 

22.【答案】解：设二次函数的解析式为，

二次函数图象的对称轴，
，

函数图象过点，
．

方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根，

，得，
．

函数的图象的顶点坐标为，将函数的图象向右平移1个单位长度，向下平移个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为，

．

假设存在满足题意的m，n．

在区间上是增函数，在区间上是减函数．

当，即时，函数在区间上是减函数，

又函数的值域为，

即解得．

当时，函数在区间上为增函数，

即解得．

存在，或，，使函数在区间上是单调函数，且其值域为．

【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．属于中档题．
根据已知，分别求出a，b，c值，可得的解析式；
由函数图象的平移变换法则，可得的解析式；
由函数在区间上是单调函数，可得区间在函数图象对称轴的一侧，分类讨论满足条件的m，n值，可得答案．
 

23.【答案】解：Ⅰ，，
对于任意都有，
函数的对称轴为，即，得，
又，即对于任意都成立，
，且．
，，．
分
Ⅱ，
当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增，
函数在区间上单调递增，
又，，
故函数在区间上只有一个零点．
若，即时，函数在上单调递增，在上单调递减．
由，而，，，
若，由于，且，
此时，函数在区间上只有一个零点；
若，由于且，
此时，函数在区间上有两个不同的零点；
综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个不同的零点．
 

【解析】Ⅰ求出，函数对于任意都有，可得函数的对称轴从而可得，结合，即对于任意都成立，可转化为二次函数的图象可得，且．
Ⅱ求出的解析式，通过了的范围，结合二次函数的性质判断即可．
本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．