数学人教A版 (2019)第五章 三角函数5.5 三角恒等变换巩固练习

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半角公式
(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
1．已知180°＜α＜360°，则cseq \f(α,2)的值等于( )
A．－eq \r(\f(1－cs α,2)) B.eq \r(\f(1－cs α,2))
C．－eq \r(\f(1＋cs α,2)) D.eq \r(\f(1＋cs α,2))
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜eq \f(α,2)＜180°，
又cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)，∴cs α＝－eq \r(\f(1＋cs α,2)).]
2．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)
A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).]
3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0，则taneq \f(θ,2)的值等于________．
－3 [由sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＜0得cs θ＝－eq \f(4,5)，
∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(sin\f(θ,2),cs\f(θ,2))＝eq \f(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2),2cs2\f(θ,2))＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)
＝eq \f(－\f(3,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))))＝－3.]
化简求值问题
【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
(2)已知π<αeq \f(1＋sin α,\r(1＋cs α)－\r(1－cs α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α)).
[思路点拨] (1)先确定eq \f(θ,4)的范围，再由sin2eq \f(θ,4)＝eq \f(1－cs\f(θ,2),2)得算式求值．
(2)1＋cs θ＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，去根号，确定eq \f(α,2)的范围，化简．
(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
又cseq \f(θ,2)＝a，
∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).]
(2)[解] 原式＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).
∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))
＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cs α的值可求eq \f(α,2)的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
1．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°∴tan eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，
∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2.
三角恒等式的证明
【例2】 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cs2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))
＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
三角恒等式证明的常用方法
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
2．求证：
eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[证明] 左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))
＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))
＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))
＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．
所以原等式成立．
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
[思路点拨] eq \x(化为fx＝Asinωx＋φ＋b)→eq \x(由T＝\f(2π,|ω|)求周期)→
eq \x(\a\al(分析fx在\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的,单调性))→eq \x(求最小值证明不等式)
[解](1)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x＝eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(3,2)sin 2x－sin 2x＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)证明：令t＝2x＋eq \f(π,3)，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，
所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
因为y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减，
所以f(x)≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，得证．
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acsωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
3．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))
＝2eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，
有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).
三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
【例4】 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[思路点拨] eq \x(设∠AOB＝α)→eq \x(建立周长lα)→eq \x(求l的最大值)
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcs α
＝R(sin α＋cs α)＋R
＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
∵0<α∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，
即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．
1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．
[解] 如图所示，设∠AOB＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，则AB＝Rsin α，OA＝Rcs α.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2Rcs α·Rsin α＝R2·2sin αcs α＝R2sin 2α.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)．
因此，当2α＝eq \f(π,2)，
即α＝eq \f(π,4)时，Smax＝R2.
这时点A，D到点O的距离为eq \f(\r(2),2)R，
矩形ABCD的面积最大值为R2.
2．若例4中的木料改为圆心角为eq \f(π,3)的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
设∠MOE＝α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，在
Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcs α，
在Rt△ONH中，eq \f(NH,ON)＝taneq \f(π,6)，
得ON＝eq \r(3)NH＝eq \r(3)Rsin α，
则MN＝OM－ON＝R(cs α－eq \r(3)sin α)，
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cs α－eq \r(3)sin α)
＝R2(sin 2α＋eq \r(3)cs 2α－eq \r(3))＝2R2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－eq \r(3)R2，
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，则eq \f(π,3)＜2α＋eq \f(π,3)＜eq \f(2π,3)，
所以当2α＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，
即α＝eq \f(π,12)时，Smax＝(2－eq \r(3))R2.
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．研究形如f(x)＝asin x＋bcs x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,4)))；sin x±eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,3)))等.
1．思考辨析
(1)cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2)).( )
(2)存在α∈R，使得cs eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)cs α.( )
(3)对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α)).( )
[提示] (1)×.只有当－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(α,2)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2)).
(2)√.当cs α＝－eq \r(3)＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)√.若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第一、三象限角，此时tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))成立．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若f(x)＝cs x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D．π
C [f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)csx＋eq \f(π,4).当x∈[0，a]时，x＋eq \f(π,4)∈eq \f(π,4)，a＋eq \f(π,4)，所以结合题意可知，a＋eq \f(π,4)≤π，即a≤eq \f(3π,4)，故所求a的最大值是eq \f(3π,4).故选C.]
3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．
π [因为f(x)＝sin2x＝eq \f(1－cs 2x,2)，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.]
4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cs 2θ.
[解] 由题意，5cs θ－5sin θ＝1，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs θ－sin θ＝eq \f(1,5).
由(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，
所以cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ)
＝eq \f(7,25).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)
1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.
2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.