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高中数学3.3 抛物线当堂达标检测题
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这是一份高中数学3.3 抛物线当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
抛物线专项练习
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是( )
A. x2=-28y B. y2=28x
C. y2=-28x D. x2=28y
2. 抛物线y=(x-3)2+1的对称轴是( )
A. 直线x=1 B. 直线x=3
C. 直线x=-1 D. 直线x=-3
3. 已知双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则此双曲线的离心率为( )
A. 6 B. 322
C. 32 D. 34
4. 抛物线与的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线)的交点坐标为( )
A. B.
C. D.
5. 过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,则P点的轨迹方程为( )
A. y2=4(x-2) B. y2=-4(x+2)
C. y2=4(x+2) D. y2=x-1
6. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数的值是
A. B.
C. D.
7. 4.已知点是抛物线：上的点 ,抛物线的焦点为 ,若点坐标为 ,则的最小值是
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则的最小值为( )
A. 16 B. 6
C. 12 D. 9
9. 过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条．
10. 已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2),则它的准线方程是( )
A. x=-12 B. y=-12
C. x=12 D. y=12
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,则实数p的值为____________．
12. 已知抛物线C：y2=-4x的焦点为F,A(-2,1),P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______ ．
13. 抛物线y=-2x2的准线方程为________．
14. 若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．
15. 在抛物线x2=y上的点P0到直线y=2x-3的距离最短,则点P0的坐标为______．
16. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F,斜率为3的直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=______．
17. 某桥的桥洞呈抛物线形,桥下水面宽16m,当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为______米.
18. 已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为______．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19. 抛物线C顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P(2,2)．
(1)求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,求|MN|．
20. 已在F为抛物线C：x2=4y的焦点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上两点,分别过A,B作抛物线的切线交于点P．
(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q,证明：|FQ|=y1+1；
(Ⅱ)设PA,PB分别交x轴于M,N两点,同△PMN的外接圆是否过定点,如果是,求出定点坐标,如果不是,说明理由．
21. 已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A,B,与x轴,y轴分别交于D、E两点,且满足EA=λ1AD,EB=λ2BD．
(1)已知直线l的方程为y=2x-4,抛物线C的方程为y2=4x,求λ1+λ2的值；
(2)已知直线l：x=my+1(m>1),椭圆C：x22+y2=1,求1λ1+1λ2的取值范围；
(3)已知双曲线C：C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),λ1+λ2=2a2b2,试问D是否为定点？若是,求点D的坐标；若不是,说明理由．
22. 根据下列条件,求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
(1)椭圆的中心在原点 ,焦点在轴上 ,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2)；
(2)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,虚轴长为12,离心率为 ;
(3)顶点是双曲线的中心 ,焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
23. 已知定点T(0,-1),动点在曲线y=2x2+1上运动,点M(x,y)是线段PT的中点．
(1)求点M(x,y)的轨迹方程,并判断轨迹C是椭圆、双曲线还是抛物线；
(2)直线l经过曲线C的焦点,并且与曲线C相交于A,B两点．
①若弦长AB=2,求直线l的方程；
②经过A,B两点分别作曲线C的切线l1,l2,已知l1,l2相交于点Q,且点Q在定直线L上,试直接写出直线L的方程(不必写出过程)．
24. 某圆拱梁的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB=36m,拱高OP=6m,每隔3m 需要一个支柱支撑,求支柱A2P2的长(精确到0.01m).
抛物线专项练习
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
25. 已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是( )
A. x2=-28y B. y2=28x C. y2=-28x D. x2=28y
【答案】B
【解析】∵=7,∴p=14.∵抛物线的焦点在x轴正半轴上,∴抛物线的方程是y2=28x．
26. 抛物线y=(x-3)2+1的对称轴是( )
A. 直线x=1 B. 直线x=3 C. 直线x=-1 D. 直线x=-3
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次函数图像的对称性,属于基础题,由抛物线y=(x-3)2+1,易得对称轴为直线x=3．
【解答】
解：因为抛物线y=(x-3)2+1,图像开口向上,其对称轴是直线x=3．
故选B．
27. 已知双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则此双曲线的离心率为( )
A. 6 B. 322 C. 32 D. 34
【答案】C
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,
∴m+5=9
∴m=4
∴双曲线的离心率为32
故选C．
确定抛物线的焦点坐标,从而可得双曲线的几何量,由此可求双曲线的离心率．
本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
28. 抛物线与的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线)的交点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：
设切线方程的切点为,
,
,
故答案选C．
29. 过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,则P点的轨迹方程为( )
A. y2=4(x-2) B. y2=-4(x+2) C. y2=4(x+2) D. y2=x-1
【答案】A
【解析】【分析】
本题是解析几何中一道较繁琐的题,考查直线与圆锥曲线的位置关系,参数方程的相关知识,设参,消参的相关技巧,综合性较强,对运算能力要求较高．
先求出焦点的坐标,用待定系数法将MN所在的直线方程设出来,得到其直线方程,与抛物线方程联立得到M,N的横纵坐标所满足的参数方程x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=4k,再利用平行四边形对角线交于中点的性质,求出点P(x,y)满足的参数方程,消参数后即可得到点P的横纵坐标所满足的方程．
【解答】
解：由已知抛物线y2=4x,故焦点坐标为(1,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)
∵平行四边形MONP,
∴可设线段MN与线段OP的交点为H(x0,y0),P(x,y),
由平行四边形的性质,H是OP的中点,
∴x0=12x,y0=12y ①
当直线MN的方程为x=1时,中点就是F,此时P点的坐标为(2,0)
当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线MN的方程可设为y=k(x-1)
由y2=4xy=k(x-1)得k2x2-2k2x+k2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∵M(x1,y1),N(x2,y2),
∴x1+x2=2k2+4k2,
故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=k×2k2+4k2)-2k=4k,
M,N的中点为H,故有x0=k2+2k2,y0=2k,
又由①,可得x=2k2+4k2=2+4k2,y=4k,
两式联立消去k得x=2+y24,整理得y2=4(x-2),
经验证知(2,0)在y2=4(x-2)上,
故应选：A．
30. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解析】略
31. 4.已知点是抛物线：上的点 ,抛物线的焦点为 ,若点坐标为 ,则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线方程可知焦点F(1,0),准线方程为x=-1,P(1,1)在抛物线内,根据抛物线的定义抛物线上的点Q到焦点的距离等于到准线的距离,设点Q到
准线的距离为d,则 过P作准线的垂线,交抛物线于点Q,此时 最小,那么最小值是点P
到准线的距离为2,故选A ．
32. 已知抛物线的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则的最小值为( )
A. 16 B. 6 C. 12 D. 9
【答案】D
【解析】解：抛物线y=14x2的标准方程为x2=4y,p=2,焦点F(0,1),准线方程为y=-1．
设p到准线的距离为PM,(即PM垂直于准线,M为垂足),
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9,(当且仅当P、A、M共线时取等号),
故选D．
33. 过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条．
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何意义,属于基础题,考查分类讨论思想．
【解答】
解：由题意,y2=8x是开口向右的抛物线,p=4,焦点F(2,0),
当过点(0,2)的直线斜率不存在时,直线为y轴,与抛物线y2=8x只有一个公共点,
当过点(0,2)的直线斜率为0时,直线与抛物线y2=8x的对称轴平行,只有一个公共点,
当过点(0,2)的直线斜率为k时,其方程为y=kx+2,与抛物线y2=8x只有一个公共点时,
将其方程联立y=kx+2y2=8x,消去y得,k2x2+(4k-8)x+4=0,当Δ=0时,解得k=1,
故过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有3条．
故选C．
34. 已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2),则它的准线方程是( )
A. x=-12 B. y=-12 C. x=12 D. y=12
【答案】A
【解析】解：根据题意,抛物线的方程为y2=2px,
又由其过点A(2,2),则有4=2p×2,解可得p=1,
即抛物线的方程为：y2=2x,
其准线方程是x=-12；
故选：A．
根据题意,将点A的坐标代入抛物线方程,计算可得p的值,即可得抛物线的方程,由抛物线准线方程计算可得答案．
本题考查抛物线的几何性质,关键是求出抛物线的方程．
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
35. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,则实数p的值为____________．
【答案】2
【解析】【分析】
抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,由此可得p的值．
本题考查抛物线的几何性质,关键是掌握抛物线的准线方程的计算方法．
【解答】
解：根据题意,抛物线x2=2py(p>0)的准线是直线y=-1,
则有-p2=-1,
则p=2．
故答案为2．
36. 已知抛物线C：y2=-4x的焦点为F,A(-2,1),P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______ ．
【答案】3
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及与之有关的最值问题,属中档题．
设点P在准线上的射影为D,由抛物线的定义把问题转化为求|PD|+|PA|的最小值,
同时可推断出当D,P,A三点共线时|PD|+|PA|最小,答案可得．
【解答】
解：设点A在准线上的射影为D,点A在准线上的射影为P1,
由抛物线的定义可知：|PF|=|PP1|,
∴要求|PF|+|PA|的最小值,即求|PP1|+|PA|的最小值,
∵A(-2,1)在抛物线内部,只有当D,P,A三点共线时|PP1|+|PA|最小,
此时|PP1|即为|PD|,|PP1|+|PA|取得最小值|DA|,
∵抛物线C：y2=-4x,∴准线方程为x=1,
∴|DA|=1-(-2)=3
即|PF|+|PA|的最小值为3．
故答案为3．
37. 抛物线y=-2x2的准线方程为________．
【答案】y=18
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的定义和性质,属于基础题．
由抛物线的准线方程的定义可求得．
【解答】
解：抛物线的标准方程为x2=-12y,
∴2p=12,
∴p2=18,
故准线方程为y=18．
故答案为y=18．
38. 若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．
【答案】3
【解析】解：由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=-2的距离d．
又圆心C到抛物线准线的距离为4,
则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号．
故|PQ|+|PC|得最小值为3．
故答案为：3．
先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.属于中档题．
39. 在抛物线x2=y上的点P0到直线y=2x-3的距离最短,则点P0的坐标为______．
【答案】(1,1)
【解析】解：设与直线y=2x-3平行的直线方程为y=2x+m．
联立y=2x+mx2=y,得x2-2x-m=0．
由△=4+4m=0,得m=-1．
∴与直线y=2x-3平行且与抛物线x2=y相切的直线方程为y=2x-1．
把m=-1代入得x2-2x-m=0,得x2-2x+1=0,解得x=1．
代入y=2x-1,得y=1．
∴点P0的坐标为(1,1),
故答案为：(1,1)．
设与直线y=2x-3平行的直线方程为y=2x+m,联立直线方程与抛物线方程,利用判别式等于0求得m值,然后求出切点坐标得答案．
本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,是中档题．
40. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F,斜率为3的直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=______．
【答案】163
【解析】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0),直线l的方程为y=3(x-1),代入y2=4x并化简得3x2-10x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103
x1x2=1,
|AB|=1+3|x1-x2|=2(103)2-4=163．
故答案为：163．
由题意求出直线AB的方程,联立直线和抛物线方程,利用弦长公式转化求解即可．
本题考查了抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系的应用,考查了学生的计算能力,是中档题．
41. 某桥的桥洞呈抛物线形,桥下水面宽16m,当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为______米.
【答案】187
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的应用,以及待定系数法求方程,注意点在曲线上,则点的坐标满足曲线的解析式,注意：建坐标系不同,解析式不同,属于基础题．
先根据题目条件建立直角坐标系,设出抛物线的方程,然后利用点在曲线上,确定方程,求得点的坐标,也就得到水面的宽．
【解答】
解：如图建立直角坐标系,
设抛物线y=ax2+c,由题意可知抛物线过点(6,2),(8,0)．
所以36a+c=264a+c=0,解得a=-114,c=327,
所以抛物线解析式为y=-114x2+327,
令x=0,得y=327；
所以当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为 327-2=187米.
故答案为187．
42. 已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为______．
【答案】θ=π3或θ=2π3
【解析】解：设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l'：x=-p2．
如图所示,
①当直线AB的倾斜角为锐角时,
分别过点A,B作AM⊥l',BN⊥l',垂足为M,N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=34|AB|,
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=12|AB|,
在Rt△ABC中,由|AC|=12|AB|,可得∠BAC=π3．
∵AM∥x轴,∴∠BAC=∠AFx=π3．
∴kAB=tanπ3=3．
②当直线AB的倾斜角为钝角时,可得直线的倾斜角为2π3．
故答案为：θ=π3或θ=2π3．
设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l'：x=-p2.如图所示,当直线AB的倾斜角为锐角时,分别过点A,B作AM⊥l',BN⊥l',垂足为M,N.过点B作BC⊥AM交于点C.则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.由于|AF|=3|BF|=34|AB|,可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=12|AB|,在Rt△ABC中,由|AC|=12|AB|,可得∠BAC=π3.由于AM∥x轴,可得∠BAC=∠AFx=π3.当直线AB的倾斜角为钝角时,同理可得．
本题考查了抛物线的定义及其性质、含角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
43. 抛物线C顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P(2,2)．
(1)求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,求|MN|．
【答案】解：(1)设抛物线的方程为y2=mx(m≠0),代入P (2,2)得m=2
所以抛物线的标准方程为y2=2x,焦点坐标为(12,0)．
(2)将y=x-1代入y2=2x得x2-4x+1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2)
可得x1+x2=4,x1⋅x2=1,
x1+x2=4,x1⋅x2=1∴|MN|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1⋅x2]=26．
【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的标准方程,可得焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,利用韦达定理、弦长公式求|MN|．
本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,比较基础．
44. 已在F为抛物线C：x2=4y的焦点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上两点,分别过A,B作抛物线的切线交于点P．
(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q,证明：|FQ|=y1+1；
(Ⅱ)设PA,PB分别交x轴于M,N两点,同△PMN的外接圆是否过定点,如果是,求出定点坐标,如果不是,说明理由．
【答案】解：(I)由x2=4y得：y=x24,故而y'=x2,
∴直线PA的方程为：y-y1=x12(x-x1),
令x=0得y=y1-x122=y1-2y1=-y1,即Q(0,-y1),
又F(0,1),y1>0,
∴|FQ|=y1+1．
(II)由(I)知：PA方程为y-y1=x12(x-x1),
令y=0可得x=2y1x1=x12,即M(x12,0),
∴KMF=1-x12=-2x1．
∴kPA⋅kMF=-1,
∴MF⊥PA,同理可得NF⊥PB,
∴P,F,M,N四点共圆,
∴△PMN的外接圆过定点F(0,1)．
【解析】(I)利用导数的几何意义求出PA方程,得出Q点坐标,从而得出结论；
(II)求出M,N的坐标,得出PA⊥MF,PB⊥NF,于是P,F,M,N四点共圆,从而得出F为所求定点．
本题考查了抛物线的性质,切线方程的求解,直线的位置关系,属于中档题．
45. 已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A,B,与x轴,y轴分别交于D、E两点,且满足EA=λ1AD,EB=λ2BD．
(1)已知直线l的方程为y=2x-4,抛物线C的方程为y2=4x,求λ1+λ2的值；
(2)已知直线l：x=my+1(m>1),椭圆C：x22+y2=1,求1λ1+1λ2的取值范围；
(3)已知双曲线C：C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),λ1+λ2=2a2b2,试问D是否为定点？若是,求点D的坐标；若不是,说明理由．
【答案】解：(1)将直线y=2x-4代入抛物线方程y2=4x,可得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,
即有A(4,4),B(1,-2),D(2,0),E(0,-4),
λ1=4-02-4=-2,λ2=1-02-1=1,即有λ1+λ2=-1；
(2)联立方程组x=my+1x2+2y2=2,得(m2+2)y2+2my-1=0,
得y1+y2=-2m2+m2,y1y2=-12+m2,
又点D(1,0),E(0,-1m),
由EA→=λ1AD→得到y1+1m=-λ1y1,λ1=-(1+1m·1y1),
同理由EB→=λ2BD→得到y2+1m=-λ2y2,λ2=-(1+1m·1y2),
所以λ1+λ2=-(2+1m·y1+y2y1y2)=-(2+1m⋅2m)=-4,
即λ1+λ2=-4,1λ1+1λ2=4λ1λ2=4λ12+4λ1=4λ1+22-4,
因为m>1,
所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动,
由分点的性质可知λ1∈(2-2,+∞),
所以1λ1+1λ2∈(-∞,-2)；
(3)设直线为x=my+t(m≠0)代入双曲线方程,
可得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2t2-a2b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=2b2mta2-b2m2,y1y2=b2t2-b2a2b2m2-a2,
又D(t,0),E(0,-tm),
由EA→=λ1AD→得到y1+tm=-λ1y1,λ1=-(1+tm·1y1),
同理由EB→=λ2BD→得到y2+tm=-λ2y2,λ2=-(1+tm·1y2),
所以λ1+λ2=-(2+tm·y1+y2y1y2)=-(2+tm·2b2mtb2a2-b2t2)=2a2b2,
化简可得,2a2t2-a2=2a2b2,解得t=±a2+b2,
即有D(±a2+b2,0),则D为定点,坐标为(±a2+b2,0).
【解析】本题主要考查圆锥曲线的综合问题与向量与参数的关系．
(1)利用直线与抛物线的关系,解得交点坐标,即可得；
(2)利用直线与椭圆的位置关系,平面向量的坐标关系,即可得；
(3)利用直线与双曲线的位置关系,平面向量的坐标关系,即可得；
46. 根据下列条件,求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
(1)椭圆的中心在原点 ,焦点在轴上 ,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2)；
(2)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,虚轴长为12,离心率为 ;
(3)顶点是双曲线的中心 ,焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
【答案】(1)设椭圆方程为。
∴2a=3·2b,∴a=3b①
又过点(3,2)∴②
由①②可得：a²=45,b²=5,
∴椭圆方程为：。
(2)设双曲线的方程为。
∴2b=12即b=6。则有a²+36=c²①
又②,由①②可得：a²=64,
∴双曲线的方程为：。
(3)由题可知双曲线方程为：。
∴抛物线方程为：y²=-12x。
【解析】本题主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质的应用等问题。
(1)先设椭圆的方程,再根据条件列出关于a,b的关系式,求解可得椭圆的方程；
(2)先设双曲线的方程,根据条件列出关于a,b,c的关系式,求解可得双曲线的方程；
(3)根据双曲线的方程求得抛物线的焦点坐标即可得到p的值,且抛物线开口向左,则可求得抛物线的方程。
47. 已知定点T(0,-1),动点在曲线y=2x2+1上运动,点M(x,y)是线段PT的中点．
(1)求点M(x,y)的轨迹方程,并判断轨迹C是椭圆、双曲线还是抛物线；
(2)直线l经过曲线C的焦点,并且与曲线C相交于A,B两点．
①若弦长AB=2,求直线l的方程；
②经过A,B两点分别作曲线C的切线l1,l2,已知l1,l2相交于点Q,且点Q在定直线L上,试直接写出直线L的方程(不必写出过程)．
【答案】解：(1)根据中点坐标公式有,
即,(i)
因为动点在曲线y=2x2+1上运动,
所以,
将(i)代入上式,
有2y+1=22x2+1,
即y=4x2,
轨迹方程是y=4x2,轨迹是抛物线；
(2)①x2=14y的焦点是0,116,
设直线l:y=kx+116,
当k=0时,弦长为14,不等于2,
∴k≠0,x=1k(y-116),
代入并整理得：y2-(18+k24)y+1256=0,
y1+y2=-b+Δ2a+-b-Δ2a=18+k24,
弦长AB=AF+BF=y1+y2+p,
∴18+k24=2,k=±302
所以,直线l:y=±302x+116；
②直线L 的方程为y=-116．
【解析】本题考查了动点的轨迹问题,抛物线与直线的位置关系,属于较难的题目．
(1)利用相关点法求动点的轨迹方程；
(2)①设出直线的斜率,根据AB=2,求出k的值,即可；
②根据题意可知Q在准线上．
48. 某圆拱梁的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB=36m,拱高OP=6m,每隔3m
需要一个支柱支撑,求支柱A2P2的长(精确到0.01m).
【答案】略
【解析】略
抛物线专项练习
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是( )
A. x2=-28y B. y2=28x
C. y2=-28x D. x2=28y
2. 抛物线y=(x-3)2+1的对称轴是( )
A. 直线x=1 B. 直线x=3
C. 直线x=-1 D. 直线x=-3
3. 已知双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则此双曲线的离心率为( )
A. 6 B. 322
C. 32 D. 34
4. 抛物线与的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线)的交点坐标为( )
A. B.
C. D.
5. 过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,则P点的轨迹方程为( )
A. y2=4(x-2) B. y2=-4(x+2)
C. y2=4(x+2) D. y2=x-1
6. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数的值是
A. B.
C. D.
7. 4.已知点是抛物线：上的点 ,抛物线的焦点为 ,若点坐标为 ,则的最小值是
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则的最小值为( )
A. 16 B. 6
C. 12 D. 9
9. 过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条．
10. 已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2),则它的准线方程是( )
A. x=-12 B. y=-12
C. x=12 D. y=12
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,则实数p的值为____________．
12. 已知抛物线C：y2=-4x的焦点为F,A(-2,1),P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______ ．
13. 抛物线y=-2x2的准线方程为________．
14. 若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．
15. 在抛物线x2=y上的点P0到直线y=2x-3的距离最短,则点P0的坐标为______．
16. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F,斜率为3的直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=______．
17. 某桥的桥洞呈抛物线形,桥下水面宽16m,当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为______米.
18. 已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为______．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19. 抛物线C顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P(2,2)．
(1)求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,求|MN|．
20. 已在F为抛物线C：x2=4y的焦点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上两点,分别过A,B作抛物线的切线交于点P．
(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q,证明：|FQ|=y1+1；
(Ⅱ)设PA,PB分别交x轴于M,N两点,同△PMN的外接圆是否过定点,如果是,求出定点坐标,如果不是,说明理由．
21. 已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A,B,与x轴,y轴分别交于D、E两点,且满足EA=λ1AD,EB=λ2BD．
(1)已知直线l的方程为y=2x-4,抛物线C的方程为y2=4x,求λ1+λ2的值；
(2)已知直线l：x=my+1(m>1),椭圆C：x22+y2=1,求1λ1+1λ2的取值范围；
(3)已知双曲线C：C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),λ1+λ2=2a2b2,试问D是否为定点？若是,求点D的坐标；若不是,说明理由．
22. 根据下列条件,求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
(1)椭圆的中心在原点 ,焦点在轴上 ,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2)；
(2)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,虚轴长为12,离心率为 ;
(3)顶点是双曲线的中心 ,焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
23. 已知定点T(0,-1),动点在曲线y=2x2+1上运动,点M(x,y)是线段PT的中点．
(1)求点M(x,y)的轨迹方程,并判断轨迹C是椭圆、双曲线还是抛物线；
(2)直线l经过曲线C的焦点,并且与曲线C相交于A,B两点．
①若弦长AB=2,求直线l的方程；
②经过A,B两点分别作曲线C的切线l1,l2,已知l1,l2相交于点Q,且点Q在定直线L上,试直接写出直线L的方程(不必写出过程)．
24. 某圆拱梁的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB=36m,拱高OP=6m,每隔3m 需要一个支柱支撑,求支柱A2P2的长(精确到0.01m).
抛物线专项练习
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
25. 已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是( )
A. x2=-28y B. y2=28x C. y2=-28x D. x2=28y
【答案】B
【解析】∵=7,∴p=14.∵抛物线的焦点在x轴正半轴上,∴抛物线的方程是y2=28x．
26. 抛物线y=(x-3)2+1的对称轴是( )
A. 直线x=1 B. 直线x=3 C. 直线x=-1 D. 直线x=-3
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次函数图像的对称性,属于基础题,由抛物线y=(x-3)2+1,易得对称轴为直线x=3．
【解答】
解：因为抛物线y=(x-3)2+1,图像开口向上,其对称轴是直线x=3．
故选B．
27. 已知双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则此双曲线的离心率为( )
A. 6 B. 322 C. 32 D. 34
【答案】C
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线x2m-y25=1(m>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,
∴m+5=9
∴m=4
∴双曲线的离心率为32
故选C．
确定抛物线的焦点坐标,从而可得双曲线的几何量,由此可求双曲线的离心率．
本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
28. 抛物线与的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线)的交点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：
设切线方程的切点为,
,
,
故答案选C．
29. 过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,则P点的轨迹方程为( )
A. y2=4(x-2) B. y2=-4(x+2) C. y2=4(x+2) D. y2=x-1
【答案】A
【解析】【分析】
本题是解析几何中一道较繁琐的题,考查直线与圆锥曲线的位置关系,参数方程的相关知识,设参,消参的相关技巧,综合性较强,对运算能力要求较高．
先求出焦点的坐标,用待定系数法将MN所在的直线方程设出来,得到其直线方程,与抛物线方程联立得到M,N的横纵坐标所满足的参数方程x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=4k,再利用平行四边形对角线交于中点的性质,求出点P(x,y)满足的参数方程,消参数后即可得到点P的横纵坐标所满足的方程．
【解答】
解：由已知抛物线y2=4x,故焦点坐标为(1,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)
∵平行四边形MONP,
∴可设线段MN与线段OP的交点为H(x0,y0),P(x,y),
由平行四边形的性质,H是OP的中点,
∴x0=12x,y0=12y ①
当直线MN的方程为x=1时,中点就是F,此时P点的坐标为(2,0)
当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线MN的方程可设为y=k(x-1)
由y2=4xy=k(x-1)得k2x2-2k2x+k2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∵M(x1,y1),N(x2,y2),
∴x1+x2=2k2+4k2,
故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=k×2k2+4k2)-2k=4k,
M,N的中点为H,故有x0=k2+2k2,y0=2k,
又由①,可得x=2k2+4k2=2+4k2,y=4k,
两式联立消去k得x=2+y24,整理得y2=4(x-2),
经验证知(2,0)在y2=4(x-2)上,
故应选：A．
30. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解析】略
31. 4.已知点是抛物线：上的点 ,抛物线的焦点为 ,若点坐标为 ,则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线方程可知焦点F(1,0),准线方程为x=-1,P(1,1)在抛物线内,根据抛物线的定义抛物线上的点Q到焦点的距离等于到准线的距离,设点Q到
准线的距离为d,则 过P作准线的垂线,交抛物线于点Q,此时 最小,那么最小值是点P
到准线的距离为2,故选A ．
32. 已知抛物线的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则的最小值为( )
A. 16 B. 6 C. 12 D. 9
【答案】D
【解析】解：抛物线y=14x2的标准方程为x2=4y,p=2,焦点F(0,1),准线方程为y=-1．
设p到准线的距离为PM,(即PM垂直于准线,M为垂足),
则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9,(当且仅当P、A、M共线时取等号),
故选D．
33. 过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条．
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何意义,属于基础题,考查分类讨论思想．
【解答】
解：由题意,y2=8x是开口向右的抛物线,p=4,焦点F(2,0),
当过点(0,2)的直线斜率不存在时,直线为y轴,与抛物线y2=8x只有一个公共点,
当过点(0,2)的直线斜率为0时,直线与抛物线y2=8x的对称轴平行,只有一个公共点,
当过点(0,2)的直线斜率为k时,其方程为y=kx+2,与抛物线y2=8x只有一个公共点时,
将其方程联立y=kx+2y2=8x,消去y得,k2x2+(4k-8)x+4=0,当Δ=0时,解得k=1,
故过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有3条．
故选C．
34. 已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2),则它的准线方程是( )
A. x=-12 B. y=-12 C. x=12 D. y=12
【答案】A
【解析】解：根据题意,抛物线的方程为y2=2px,
又由其过点A(2,2),则有4=2p×2,解可得p=1,
即抛物线的方程为：y2=2x,
其准线方程是x=-12；
故选：A．
根据题意,将点A的坐标代入抛物线方程,计算可得p的值,即可得抛物线的方程,由抛物线准线方程计算可得答案．
本题考查抛物线的几何性质,关键是求出抛物线的方程．
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
35. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,则实数p的值为____________．
【答案】2
【解析】【分析】
抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,由此可得p的值．
本题考查抛物线的几何性质,关键是掌握抛物线的准线方程的计算方法．
【解答】
解：根据题意,抛物线x2=2py(p>0)的准线是直线y=-1,
则有-p2=-1,
则p=2．
故答案为2．
36. 已知抛物线C：y2=-4x的焦点为F,A(-2,1),P为抛物线C上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______ ．
【答案】3
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及与之有关的最值问题,属中档题．
设点P在准线上的射影为D,由抛物线的定义把问题转化为求|PD|+|PA|的最小值,
同时可推断出当D,P,A三点共线时|PD|+|PA|最小,答案可得．
【解答】
解：设点A在准线上的射影为D,点A在准线上的射影为P1,
由抛物线的定义可知：|PF|=|PP1|,
∴要求|PF|+|PA|的最小值,即求|PP1|+|PA|的最小值,
∵A(-2,1)在抛物线内部,只有当D,P,A三点共线时|PP1|+|PA|最小,
此时|PP1|即为|PD|,|PP1|+|PA|取得最小值|DA|,
∵抛物线C：y2=-4x,∴准线方程为x=1,
∴|DA|=1-(-2)=3
即|PF|+|PA|的最小值为3．
故答案为3．
37. 抛物线y=-2x2的准线方程为________．
【答案】y=18
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的定义和性质,属于基础题．
由抛物线的准线方程的定义可求得．
【解答】
解：抛物线的标准方程为x2=-12y,
∴2p=12,
∴p2=18,
故准线方程为y=18．
故答案为y=18．
38. 若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．
【答案】3
【解析】解：由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=-2的距离d．
又圆心C到抛物线准线的距离为4,
则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号．
故|PQ|+|PC|得最小值为3．
故答案为：3．
先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.属于中档题．
39. 在抛物线x2=y上的点P0到直线y=2x-3的距离最短,则点P0的坐标为______．
【答案】(1,1)
【解析】解：设与直线y=2x-3平行的直线方程为y=2x+m．
联立y=2x+mx2=y,得x2-2x-m=0．
由△=4+4m=0,得m=-1．
∴与直线y=2x-3平行且与抛物线x2=y相切的直线方程为y=2x-1．
把m=-1代入得x2-2x-m=0,得x2-2x+1=0,解得x=1．
代入y=2x-1,得y=1．
∴点P0的坐标为(1,1),
故答案为：(1,1)．
设与直线y=2x-3平行的直线方程为y=2x+m,联立直线方程与抛物线方程,利用判别式等于0求得m值,然后求出切点坐标得答案．
本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,是中档题．
40. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F,斜率为3的直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=______．
【答案】163
【解析】解：由题意可得抛物线焦点F(1,0),直线l的方程为y=3(x-1),代入y2=4x并化简得3x2-10x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103
x1x2=1,
|AB|=1+3|x1-x2|=2(103)2-4=163．
故答案为：163．
由题意求出直线AB的方程,联立直线和抛物线方程,利用弦长公式转化求解即可．
本题考查了抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系的应用,考查了学生的计算能力,是中档题．
41. 某桥的桥洞呈抛物线形,桥下水面宽16m,当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为______米.
【答案】187
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的应用,以及待定系数法求方程,注意点在曲线上,则点的坐标满足曲线的解析式,注意：建坐标系不同,解析式不同,属于基础题．
先根据题目条件建立直角坐标系,设出抛物线的方程,然后利用点在曲线上,确定方程,求得点的坐标,也就得到水面的宽．
【解答】
解：如图建立直角坐标系,
设抛物线y=ax2+c,由题意可知抛物线过点(6,2),(8,0)．
所以36a+c=264a+c=0,解得a=-114,c=327,
所以抛物线解析式为y=-114x2+327,
令x=0,得y=327；
所以当水面上涨2m时,水面宽变为12m,此时桥洞顶部距水面高度为 327-2=187米.
故答案为187．
42. 已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为______．
【答案】θ=π3或θ=2π3
【解析】解：设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l'：x=-p2．
如图所示,
①当直线AB的倾斜角为锐角时,
分别过点A,B作AM⊥l',BN⊥l',垂足为M,N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=34|AB|,
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=12|AB|,
在Rt△ABC中,由|AC|=12|AB|,可得∠BAC=π3．
∵AM∥x轴,∴∠BAC=∠AFx=π3．
∴kAB=tanπ3=3．
②当直线AB的倾斜角为钝角时,可得直线的倾斜角为2π3．
故答案为：θ=π3或θ=2π3．
设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l'：x=-p2.如图所示,当直线AB的倾斜角为锐角时,分别过点A,B作AM⊥l',BN⊥l',垂足为M,N.过点B作BC⊥AM交于点C.则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.由于|AF|=3|BF|=34|AB|,可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=12|AB|,在Rt△ABC中,由|AC|=12|AB|,可得∠BAC=π3.由于AM∥x轴,可得∠BAC=∠AFx=π3.当直线AB的倾斜角为钝角时,同理可得．
本题考查了抛物线的定义及其性质、含角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
43. 抛物线C顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P(2,2)．
(1)求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,求|MN|．
【答案】解：(1)设抛物线的方程为y2=mx(m≠0),代入P (2,2)得m=2
所以抛物线的标准方程为y2=2x,焦点坐标为(12,0)．
(2)将y=x-1代入y2=2x得x2-4x+1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2)
可得x1+x2=4,x1⋅x2=1,
x1+x2=4,x1⋅x2=1∴|MN|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1⋅x2]=26．
【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的标准方程,可得焦点坐标；
(2)直线l：x-y-1=0与抛物线C相交于M,N两点,利用韦达定理、弦长公式求|MN|．
本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,比较基础．
44. 已在F为抛物线C：x2=4y的焦点A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上两点,分别过A,B作抛物线的切线交于点P．
(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q,证明：|FQ|=y1+1；
(Ⅱ)设PA,PB分别交x轴于M,N两点,同△PMN的外接圆是否过定点,如果是,求出定点坐标,如果不是,说明理由．
【答案】解：(I)由x2=4y得：y=x24,故而y'=x2,
∴直线PA的方程为：y-y1=x12(x-x1),
令x=0得y=y1-x122=y1-2y1=-y1,即Q(0,-y1),
又F(0,1),y1>0,
∴|FQ|=y1+1．
(II)由(I)知：PA方程为y-y1=x12(x-x1),
令y=0可得x=2y1x1=x12,即M(x12,0),
∴KMF=1-x12=-2x1．
∴kPA⋅kMF=-1,
∴MF⊥PA,同理可得NF⊥PB,
∴P,F,M,N四点共圆,
∴△PMN的外接圆过定点F(0,1)．
【解析】(I)利用导数的几何意义求出PA方程,得出Q点坐标,从而得出结论；
(II)求出M,N的坐标,得出PA⊥MF,PB⊥NF,于是P,F,M,N四点共圆,从而得出F为所求定点．
本题考查了抛物线的性质,切线方程的求解,直线的位置关系,属于中档题．
45. 已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A,B,与x轴,y轴分别交于D、E两点,且满足EA=λ1AD,EB=λ2BD．
(1)已知直线l的方程为y=2x-4,抛物线C的方程为y2=4x,求λ1+λ2的值；
(2)已知直线l：x=my+1(m>1),椭圆C：x22+y2=1,求1λ1+1λ2的取值范围；
(3)已知双曲线C：C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),λ1+λ2=2a2b2,试问D是否为定点？若是,求点D的坐标；若不是,说明理由．
【答案】解：(1)将直线y=2x-4代入抛物线方程y2=4x,可得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,
即有A(4,4),B(1,-2),D(2,0),E(0,-4),
λ1=4-02-4=-2,λ2=1-02-1=1,即有λ1+λ2=-1；
(2)联立方程组x=my+1x2+2y2=2,得(m2+2)y2+2my-1=0,
得y1+y2=-2m2+m2,y1y2=-12+m2,
又点D(1,0),E(0,-1m),
由EA→=λ1AD→得到y1+1m=-λ1y1,λ1=-(1+1m·1y1),
同理由EB→=λ2BD→得到y2+1m=-λ2y2,λ2=-(1+1m·1y2),
所以λ1+λ2=-(2+1m·y1+y2y1y2)=-(2+1m⋅2m)=-4,
即λ1+λ2=-4,1λ1+1λ2=4λ1λ2=4λ12+4λ1=4λ1+22-4,
因为m>1,
所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动,
由分点的性质可知λ1∈(2-2,+∞),
所以1λ1+1λ2∈(-∞,-2)；
(3)设直线为x=my+t(m≠0)代入双曲线方程,
可得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2t2-a2b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=2b2mta2-b2m2,y1y2=b2t2-b2a2b2m2-a2,
又D(t,0),E(0,-tm),
由EA→=λ1AD→得到y1+tm=-λ1y1,λ1=-(1+tm·1y1),
同理由EB→=λ2BD→得到y2+tm=-λ2y2,λ2=-(1+tm·1y2),
所以λ1+λ2=-(2+tm·y1+y2y1y2)=-(2+tm·2b2mtb2a2-b2t2)=2a2b2,
化简可得,2a2t2-a2=2a2b2,解得t=±a2+b2,
即有D(±a2+b2,0),则D为定点,坐标为(±a2+b2,0).
【解析】本题主要考查圆锥曲线的综合问题与向量与参数的关系．
(1)利用直线与抛物线的关系,解得交点坐标,即可得；
(2)利用直线与椭圆的位置关系,平面向量的坐标关系,即可得；
(3)利用直线与双曲线的位置关系,平面向量的坐标关系,即可得；
46. 根据下列条件,求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
(1)椭圆的中心在原点 ,焦点在轴上 ,长轴长是短轴长的3倍,且过点P(3,2)；
(2)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,虚轴长为12,离心率为 ;
(3)顶点是双曲线的中心 ,焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
【答案】(1)设椭圆方程为。
∴2a=3·2b,∴a=3b①
又过点(3,2)∴②
由①②可得：a²=45,b²=5,
∴椭圆方程为：。
(2)设双曲线的方程为。
∴2b=12即b=6。则有a²+36=c²①
又②,由①②可得：a²=64,
∴双曲线的方程为：。
(3)由题可知双曲线方程为：。
∴抛物线方程为：y²=-12x。
【解析】本题主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质的应用等问题。
(1)先设椭圆的方程,再根据条件列出关于a,b的关系式,求解可得椭圆的方程；
(2)先设双曲线的方程,根据条件列出关于a,b,c的关系式,求解可得双曲线的方程；
(3)根据双曲线的方程求得抛物线的焦点坐标即可得到p的值,且抛物线开口向左,则可求得抛物线的方程。
47. 已知定点T(0,-1),动点在曲线y=2x2+1上运动,点M(x,y)是线段PT的中点．
(1)求点M(x,y)的轨迹方程,并判断轨迹C是椭圆、双曲线还是抛物线；
(2)直线l经过曲线C的焦点,并且与曲线C相交于A,B两点．
①若弦长AB=2,求直线l的方程；
②经过A,B两点分别作曲线C的切线l1,l2,已知l1,l2相交于点Q,且点Q在定直线L上,试直接写出直线L的方程(不必写出过程)．
【答案】解：(1)根据中点坐标公式有,
即,(i)
因为动点在曲线y=2x2+1上运动,
所以,
将(i)代入上式,
有2y+1=22x2+1,
即y=4x2,
轨迹方程是y=4x2,轨迹是抛物线；
(2)①x2=14y的焦点是0,116,
设直线l:y=kx+116,
当k=0时,弦长为14,不等于2,
∴k≠0,x=1k(y-116),
代入并整理得：y2-(18+k24)y+1256=0,
y1+y2=-b+Δ2a+-b-Δ2a=18+k24,
弦长AB=AF+BF=y1+y2+p,
∴18+k24=2,k=±302
所以,直线l:y=±302x+116；
②直线L 的方程为y=-116．
【解析】本题考查了动点的轨迹问题,抛物线与直线的位置关系,属于较难的题目．
(1)利用相关点法求动点的轨迹方程；
(2)①设出直线的斜率,根据AB=2,求出k的值,即可；
②根据题意可知Q在准线上．
48. 某圆拱梁的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB=36m,拱高OP=6m,每隔3m
需要一个支柱支撑,求支柱A2P2的长(精确到0.01m).
【答案】略
【解析】略
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