高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线达标测试

双曲线专项练习卷

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 若双曲线的一个焦点是,则实数     

A.  B.  

C.  D.

2. 焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为的双曲线标准方程是      ．

A.  B.  

C.  D.

3. 已知双曲线上有一点P到一个焦点距离为12,则到另一个焦点的距离为       

A. 4 B. 20 

C. 4或20 D. 6或18

4. 双曲线与双曲线的    

A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 

C. 焦距相等 D. 离心率相等

5. 双曲线的离心率为(    )

A. 4 B.  

C.  D.

6. 渐近线方程为的双曲线方程是(    )

A.  B.  

C.  D.

7. 分别是双曲线C：的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且,则的周长为(    )

A. 15 B. 16 

C. 17 D. 18

8. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为(    )

A. 2 B.  

C.  D.

9. 双曲线的一个焦点坐标是(    )

A.  B.  

C.  D.

10. 已知双曲线的一个顶点是 ,其渐近线方程为,则该双曲线的标准方程(    )

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 若双曲线C：的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为______．
12. 已知双曲线的离心率为2,则a的值为______．
13. 双曲线的渐近线的方程为______．
14. 已知矩形ABCD,,,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为______．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

15. 已知曲线C的方程为：．

讨论曲线C的类型；

若曲线C表示以,为焦点的椭圆,P是椭圆C上一点,且,求的面积．






 

16. 分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

离心率为,且短轴长为6的椭圆；

过点,且与椭圆有相同焦点的双曲线；






 

17. 在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且,,其中、．
    
    
     

若A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,求该椭圆的方程；

若A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,求双曲线的方程．






 

18. 已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长为4,焦距为2,求椭圆的标准方程；

已知双曲线的渐近线方程为,准线方程为,求该双曲线的标准方程．






 

双曲线专项练习卷

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

19. 若双曲线的一个焦点是,则实数     

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题．
化双曲线方程为标准方程,利用隐含条件求得c,结合焦点坐标为列式求得k值．
【解答】
解：由双曲线,得,
是双曲线的一个焦点,可知双曲线为焦点在x轴上的双曲线,
则,
,
解得：．
故选：C．
 

20. 焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为的双曲线标准方程是      ．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
此题考查学生掌握双曲线的性质,会利用待定系数法求双曲线的标准方程,是一道中档题．
由虚轴长是12求出虚半轴b,根据双曲线的性质以及离心率,求出,写出双曲线的标准方程．
【解答】
解：根据题意设双曲线的标准方程为,
可知,解得,
又因为离心率 ,
根据双曲线的性质可得 ,
由得, ,
所以双曲线的标准方程为： ,
故选D．
 

21. 已知双曲线上有一点P到一个焦点距离为12,则到另一个焦点的距离为       

A. 4 B. 20 C. 4或20 D. 6或18

【答案】C

【解析】【分析】
 设双曲线的左右焦点分别为,,利用双曲线的定义,即可求得答案．
 本题考查双曲线的简单性质,考查细心审题与准确规范解答的能力,属于中档题．
【解答】
解：设双曲线的左右焦点分别为,,则,,,不妨令, 
点P可能在左支,也可能在右支, 由得： , 或 
点P到另一个焦点的距离是20或 
故选C．
 

22. 双曲线与双曲线的    

A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等

【答案】C

【解析】【分析】
利用双曲线几何量的关系,即可得出结论本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,掌握双曲线几何量的关系是关键．
【解答】
解：由题意,,
双曲线与双曲线 焦距相等,
故选：C．
 

23. 双曲线的离心率为(    )

A. 4 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查双曲线的基本性质的应用,离心率的求法,考查计算能力,属于基础题．
通过双曲线方程求出a,b,c的值然后求出离心率即可．
【解答】
解：因为双曲线,所以,,所以,
所以双曲线的离心率为：．
故选B．
 

24. 渐近线方程为的双曲线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基本知识的考查．
求出双曲线的渐近线方程,即可得到选项．
【解答】
解：选项A的渐近线方程为：,
选项B的渐近线方程为：,正确；
选项C的渐近线方程：；
选项D的渐近线方程为：；
故选B．
 

25. 分别是双曲线C：的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且,则的周长为(    )

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

【答案】D

【解析】【分析】

此题考查双曲线的概念及标准方程,属基础题,关键是由双曲线的概念求出．

【解答】

解：由双曲线的方程可得：,,

所以,,

所以三角形的周长为．

故选D．

26. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为(    )

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：双曲线的一条渐近线与直线垂直．
双曲线的渐近线方程为,
,得,,
此时,离心率．
故选：C．
渐近线与直线垂直,得a、b关系,再由双曲线基本量的平方关系,得出a、c的关系式,结合离心率的定义,可得该双曲线的离心率．
本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率,考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题．
 

27. 双曲线的一个焦点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：根据题意,双曲线的标准方程为,
可得,,则,且其焦点在x轴上,
则其焦点坐标为,,
故选D．
根据题意,由双曲线的标准方程可得a、b的值,进而由,可得c的值,又可以判断其焦点在x轴上,即可求得其焦点的坐标,分析选项可得答案．
本题考查双曲线的简单性质,注意由其标准方程确定焦点的位置．
 

28. 已知双曲线的一个顶点是 ,其渐近线方程为,则该双曲线的标准方程(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了双曲线的标准方程,属于基础题．
根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出．
【解答】
解：双曲线的一个顶点是,
,且焦点在x轴上,
渐近线方程为,
,
,
该双曲线的标准方程为,
故选A．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

29. 若双曲线C：的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】解：双曲线的离心率为,
,则,
则,
得,即,
则双曲线C的渐近线方程为,
故答案为：．
根据双曲线的离心率建立a,b的关系,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线方程的应用,根据双曲线的离心率建立a,b,c的关系是解决本题的关键．
 

30. 已知双曲线的离心率为2,则a的值为______．

【答案】

【解析】解：由双曲线得到,
则,
所以,
解得．
故答案是：．
求得双曲线的,由和,解关于a的方程,即可得到所求值．
本题考查双曲线的方程和性质,注意运用离心率公式和基本量a,b,c的关系,考查方程思想和运算能力,属于基础题．
 

31. 双曲线的渐近线的方程为______．

【答案】

【解析】解：根据题意,双曲线的方程为,
其中,,其焦点在x轴上,
其双曲线的渐近线方程为：；
故答案为：．
根据题意,由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置,进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线渐近线方程的求法．
 

32. 已知矩形ABCD,,,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为______．

【答案】

【解析】解：由题意可得点,
设双曲线的标准方程是．
则,,
则,
所以．
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：．
由题意可得点A,B,C的坐标,设出双曲线的标准方程,根据题意知,求得a,进而求得c,则双曲线的离心率可得．
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．
 

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

33. 已知曲线C的方程为：．

讨论曲线C的类型；

若曲线C表示以,为焦点的椭圆,P是椭圆C上一点,且,求的面积．

【答案】解：曲线C 为椭圆：,解得且．

曲线C 为双曲线：,解得或．

曲线C 为圆：．

所以当且时,曲线C 为椭圆,当或,曲线C 为双曲线,当时,曲线C 为圆                             

因为所以,椭圆方程为,解得,所以 

【解析】本题考查了曲线的概念,椭圆方程的定义,余弦定理即三角形面积公式．

由圆、椭圆、双曲线的概念,进行讨论；

由椭圆定义得出两条线段的和,利用余弦定理求出积,再用三角形面积公式求解．

34. 分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

离心率为,且短轴长为6的椭圆；

过点,且与椭圆有相同焦点的双曲线；

【答案】解：短轴长为6,     
,
离心率为,   
,
又 ,
,
椭圆的标准方程为或；
双曲线与椭圆有相同焦点,
焦点坐标为,
又双曲线过点,   
,
即,
,
双曲线的标准方程为；

【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程,属于基础题．
​由椭圆的性质得到b,由离心率得到a和c的关系,再由 解得a,b,就求得椭圆方程；
求出椭圆的焦点得到c,再把点的坐标代入双曲线方程,结合,解得a和b,就求得双曲线方程
 

35. 在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且,,其中、．
    
    
     

若A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点,求该椭圆的方程；

若A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点,求双曲线的方程．

【答案】解：,B为椭圆的焦点,且椭圆经过C,D两点,
根据椭圆的定义：,
,
在椭圆中：,
椭圆方程为：．
,B为双曲线的焦点,且双曲线经过C,D两点,
根据双曲线的定义：,
,
在双曲线中：,
双曲线方程为：．

【解析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义及标准方程的应用,属于基础题．
由已知条件及椭圆义易得a,再根据关系可得b,于是方程可求．
由已知条件及双曲线定义易得a,再根据关系可得b,于是方程可求．
 

36. 已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长为4,焦距为2,求椭圆的标准方程；

已知双曲线的渐近线方程为,准线方程为,求该双曲线的标准方程．

【答案】解：椭圆的焦点在x轴上,设标准方程为,．

长轴长为4,焦距为2,

即,,

则

所以椭圆的标准方程为； 

由题意知双曲线标准方程为：, 
,, 
又,解得,, 
所求双曲线标准方程为．

【解析】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法,注意运用待定系数法,考查运算能力,属于基础题．

求出椭圆的a,b即可得到所求； 

利用双曲线的渐近线和准线公式得到方程组即可得出