数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后练习题

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


圆锥曲线综合复习卷
一、选择题
1. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(       )
A. 13 B. 12
C. 23 D. 34
2. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )
A. 63 B. 33
·
C. 23 D. 13​
3. 设F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=35,则椭圆E的离心率为(    )
A. 12 B. 23
C. 32 D. 22
4. 椭圆x216+y29=1中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为(    )
A. 916 B. 932
C. 964 D. -932
5. 已知P是椭圆x24+y2=1上的动点,则P点到直线l：x+y-25=0的距离的最小值为(   )
A.  102 B. 52
C. 105 D. 25


6. 已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+4上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(    )
A. 1010 B. 105
C. 55 D. 255
7. 已知F1,F2是双曲线E：x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为(    )
A. 2 B. 32
C. 3 D. 2
8. 已知双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为(    )
A. y=±14x B. y=±13x
C. y=±12x D. y=±2x
9. 设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|, ∠PQF=60∘,则该双曲线的离心率为(    )
A. 3 B. 1+3
C. 2+3 D. 4+23
10. 点A(2,1)到抛物线准线的距离为1,则a的值为(    )
A. -14或-112 B. 14或112
C. -4或-12 D. 4或12
11. 已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3,则点M到x轴的距离为(  )
A. 12 B. 1
C. 2 D. 4

12. 已知点A1,yo (y0>0)为抛物线 y2=2px (p>0)上一点,若点A到该抛物线焦点的距离为3,则y0=(   )
A. 2 B. 2
C. 22 D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合,则实数p的值为_______．
14. 已知抛物线y2=4x与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=3,则该双曲线的离心率为______．
15. 过点M1,1作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 ________．
16. 椭圆x22+y2=1的弦被点(12,12)平分,则这条弦所在的直线方程是________．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知椭圆C的焦点为F1(-22,0)和 F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.求：
(1)椭圆C的标准方程；
(2)弦AB的中点坐标及弦长．







18. 已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”,命题q：“曲线C2：x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”．
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围．





19. 平面直角坐标系中,椭圆C的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,一个焦点F的坐标为(1,0),离心率为e=22．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若直线l经过焦点F,其倾斜角为π4,且交椭圆C于A、B两点,求线段AB长.







20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右焦点为F(1,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程．







21. 已知椭圆C：x22+y2=1,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点．
(Ⅰ)求椭圆C的长轴和短轴的长,离心率e,左焦点F1；
(Ⅱ)已知P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,求△F1PF2的面积．







22. 在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43．
求椭圆C的方程．
设点P在椭圆C上,F1、F2为椭圆C的左右焦点,若∠F1PF2=π3,求△F1PF2的面积．








圆锥曲线综合复习卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(       )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用,考查点到直线的距离公式,椭圆的离心率的求法,考查计算能力,属于中档题.设出椭圆的方程,求出直线的方程,利用已知条件列出方程,即可求解椭圆的离心率．
【解答】
解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,
不妨设直线方程为：xc+yb=1,椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,
可得：11c2+1b2=b2,
又a2=b2+c2,
化简得：bca=b2,
∴e=ca=12．
故选B．

2. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )
A. 63 B. 33 C. 23 D. 13​
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
根据直线与圆相切的条件,利用点到直线的距离公式得到a,b的关系,进而求得离心率．
【解答】
解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,
∴原点到直线的距离等于半径a,
即2aba2+b2=a,化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=63．
故选A．

3. 设F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=35,则椭圆E的离心率为(    )
A. 12 B. 23 C. 32 D. 22
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义,椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
设|BF1|=k(k>0),则|AF1|=3k,|AB|=4k,由cos∠AF2B=35,利用余弦定理,可得a=3k,从而△AF1F2是等腰直角三角形,即可求椭圆E的离心率．
【解答】
解：设|BF1|=k(k>0),
则|AF1|=3k,|AB|=4k,
∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,
∵cos∠AF2B=35,
在△ABF2中,由余弦定理得：
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B,
∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k),
化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k,
∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,|AB|=4k,
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,
∴AF1⊥AF2,且AF1=AF2=3k,
∴△AF1F2是等腰直角三角形,2c2=2a2,
∴c=22a,
∴椭圆的离心率e=ca=22．
故选D．



4. 椭圆x216+y29=1中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为(    )
A. 916 B. 932 C. 964 D. -932
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系,考查直线的斜率,考查分析与计算能力,属于中档题．
在解决弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,先设出弦的两端点的坐标,分别代入椭圆方程,两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【解答】
解：设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆得x1216+y129=1x2216+y229=1,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,
即(x1+x2)(x1-x2)16=-(y1+y2)(y1-y2)9,
∴-9(x1+x2)16(y1+y2)=y1-y2x1-x2,
又M(1,2)为弦AB的中点,
∴x1+x2=2,y1+y2=4,
∴-9×216×4=y1-y2x1-x2,
即y1-y2x1-x2=-932,
∴弦所在的直线的斜率为-932,
故选D．

5. 已知P是椭圆x24+y2=1上的动点,则P点到直线l：x+y-25=0的距离的最小值为(   )
A.  102 B. 52 C. 105 D. 25
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点,属于中档题.设与直线x+y-25=0平行的直线方程是x+y+c=0,与椭圆方程联立并消元,令Δ=0可得c的值,求出两条平行线的距离,即可求得椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l距离的最小值．
【解答】
解：设与直线x+y-25=0平行的直线方程是x+y+c=0,
与椭圆方程联立x24+y2=1x+y+c=0,
消元可得5x2+8cx+4c2-4=0,
令Δ=64c2-20(4c2-4)=0,可得c=±5,
故与直线x+y-25=0平行的直线方程是x+y±5=0,
x+y+5=0与x+y-25=0之间的距离为5+252=3102,
x+y-5=0与x+y-25=0之间的距离为-5+252=102,
∴椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l距离的最小值是102,
故选A．

6. 已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+4上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(    )
A. 1010 B. 105 C. 55 D. 255
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的基本性质,动点到定点距离的最值等知识,属于中档题．
由题意知,要使椭圆C的离心率取最大值,则a取最小值.即|PA|+|PB|取最小值.利用点的对称性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本题．
【解答】
解：由题意得,
2c=|AB|=4.∴c=2．
2a=|PA|+|PB|．
当a取最小值时,椭圆C的离心率有最大值．
设点A(-2,0)关于直线l：y=x+4的对称点为A'(x,y)．
则yx+2=-1y2=x-22+4,解得,x=-4y=2．
∴A'(-4,2)．
则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|．
∴2a≥|A'B|=40=210．
∴当a=10时,椭圆有最大离心率,
此时,ca=210105．
故选B．



7. 已知F1,F2是双曲线E：x2a2-y2b2=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为(    )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义与方程,考查双曲线的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．
设|MF1|=m,则|MF2|=2a+m,利用勾股定理,求出m=b2a,利用sin∠MF2F1=13,求得m=a,可得b2a=a,求出a=b,即可得出结论．
【解答】
解：由题意可画下图,

设|MF1|=m,则|MF2|=2a+m,
∵MF1与x轴垂直,
∴(2a+m)2=m2+4c2,
∴m=b2a,
∵sin∠MF2F1=13,得m2a+m=13,即m=a,
∴b2a=a,即a=b,
∴c=2a,
∴e=ca=2．
故选A．

8. 已知双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为(    )
A. y=±14x B. y=±13x C. y=±12x D. y=±2x
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用离心率公式和双曲线的方程,考查运算能力,属于基础题．
运用双曲线的离心率公式可得c2=54a2,由a,b,c的关系和双曲线的渐近线方程,计算即可得到所求方程．
【解答】
解：由题意可得e=ca=52,
即为c2=54a2,
由c2=a2+b2,可得b2=14a2,
即a=2b,
双曲线的渐近线方程为y=±abx,
即为y=±2x．
故选D．



9. 设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,,则该双曲线的离心率为(    )
A. 3 B. 1+3 C. 2+3 D. 4+23
【答案】B
【解析】解：∵|PQ|=2|QF|,,,
设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,
由对称性可知,F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=3|QF|,
故e=2c2a=|F1F||QF1|-|QF|=23-1=3+1．
故选：B．
本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题．

10. 点A(2,1)到抛物线准线的距离为1,则a的值为(    )
A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质,属于基础题,
求出抛物线的准线方程,根据距离列出方程解出a的值即可．
【解答】
解： 由已知抛物线的准线方程为x=-a4,
∴点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为|2+a4|=1,
解得a=-4或a=-12,
故选C．


11. 已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3,则点M到x轴的距离为(  )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等,是基础题．
直接利用抛物线的定义求解即可．
【解答】
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,
根据抛物线定义,
∴yM+1=3,
解得yM=2,
∴点M到x轴的距离为2．
故选C．

12. 已知点为抛物线上一点,若点A到该抛物线焦点的距离为3,则y0=(   )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．
点A到该抛物线焦点的距离为3,可得1+p2=3,解得p.把点A(1,y0)(y0>0)代入抛物线方程解出即可．
【解答】
解：∵点A到该抛物线焦点的距离为3,
∴1+p2=3,解得p=4．
∴抛物线的方程为：y2=8x,
把点A(1,y0)(y0>0)代入可得：y02=8,解得y0=22．
故选C．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合,则实数p的值为_______．
【答案】6
【解析】【分析】
本题给出抛物线以原点为顶点,双曲线的右焦点为焦点,求抛物线方程,着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.根据双曲线的方程,可得c=3,从而得到双曲线的右焦点为F(3,0),再根据抛物线的简单几何性质,可得p2=3,解之即可得到实数p的值．
【解答】
解：∵双曲线的方程x24-y25=1,
∴a2=4,b2=5,可得c=a2+b2=3,
因此双曲线x24-y25=1的右焦点为F(3,0),
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,
∴p2=3,解之得p=6．
故答案为6．


14. 已知抛物线y2=4x与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=3,则该双曲线的离心率为______．
【答案】3
【解析】解：设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+1=3,
∴m=2,∴n2=4×2,∴n=±22,
将点M(2,±22)代入双曲线的渐近线方程y=±bax,
∴ba=2,∴c2-a2a2=2,
∴e=3．
故答案为：3．
设出M,利用抛物线的定义以及双曲线方程,转化推出a,c关系,即可得到双曲线的离心率．
本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力．

15. 过点M1,1作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 ________．
【答案】22
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的关系, 利用点差法,结合M是线段AB的中点,斜率为-12 ,即可求出椭圆C的离心率．
【解答】
解：设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,
∵M是线段AB的中点,
∴x1+x22=1,y1+y22=1,
∵直线AB的方程是y=-12(x-1)+1,
∴y1-y2=-12(x1-x2),
∵过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,M是线段AB的中点,
∴①②两式相减可得x12-x22a2+y12-y22b2=0,即2a2+-12·2b2=0,
∴a=2b,
∴c=a2-b2=b,
∴e=ca=22．
故答案为22．


16. 椭圆x22+y2=1的弦被点(12,12)平分,则这条弦所在的直线方程是________．
【答案】2x+4y-3=0
【解析】【分析】
本题考查椭圆的中点弦方程的求法,用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则x122+y12=1x222+y22=1,两式相减再变形得x1+x22+k(y1+y2)=0,再由弦中点为(12,12),求出k,由此能求出这条弦所在的直线方程．
【解答】
解：设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得斜率一定存在,设为k,
则x122+y12=1x222+y22=1,
两式相减再变形得x1+x22+k(y1+y2)=0,
又弦中点为(12,12),
故k=-12,
故这条弦所在的直线方程y-12=-12(x-12),整理得2x+4y-3=0．
故答案为2x+4y-3=0．


三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知椭圆C的焦点为F1(-22,0)和 F2(22,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.求：
(1)椭圆C的标准方程；
(2)弦AB的中点坐标及弦长．
【答案】解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(-22,0)和 F2(22,0),长轴长为6,
∴椭圆的焦点在x轴上,c=22,a=3,
∴b=1,
∴椭圆C的标准方程x29+y2=1；
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),
由x2+9y2=9y=x+2,消去y,得10x2+36x+27=0,Δ>0,
∴x1+x2=-185,x1x2=2710,
∴x0=-95,
∵y0=x0+2=2-95=15,
∴弦AB的中点坐标为(-95,15),
|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2(x1+x2)2-4x1x2​
=2(-185)2-4×2710=635．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求法,考查弦AB的中点坐标及弦长.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用,属于基础题．
(1)由椭圆C的焦点为F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长为6,能求出椭圆C的标准方程；
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),由x2+9y2=9y=x+2,得10x2+36x+27=0,故x1+x2=-185,x1x2=2710,由此能求出弦AB的中点坐标及弦长．

18. 已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”,命题q：“曲线C2：x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”．
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围．
【答案】解：(1)若p为真：则m2>2m+82m+8>0,
解得-44；
(2)若q为真,则(m-t)(m-t-1)<0,
即t ∵p是q的必要不充分条件,
则{m|t4},
即-4≤t 解得-4≤t≤-3或t≥4．
【解析】本题考查了椭圆与双曲线的概念及充分条件,必要条件的应用,属于基础题．
(1)利用圆锥曲线的性质求出m的范围；
(2))若q为真,则(m-t)(m-t-1)<0,即t4}即可求出t的取值范围．

19. 平面直角坐标系中,椭圆C的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,一个焦点F的坐标为(1,0),离心率为e=22．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若直线l经过焦点F,其倾斜角为π4,且交椭圆C于A、B两点,求线段AB长.
【答案】解：(1)设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
设c2=a2-b2,其中c=1,
∴1=a2-b2①,又e=ca=22②,    
由①②解得a2=2,b2=1,
∴椭圆C的标准方程为：x22+y2=1；
(2)设直线l方程为y=x-1,
与椭圆C方程x22+y2=1联立,得3x2-4x=0,
解得A(0,-1),B(43,13),
则AB=(0-43)2+(-1-13)2=423．
【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,属基础题．
(1)根据椭圆的几何性质求解标准方程；
(2)利用弦长公式求弦长AB即可．

20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右焦点为F(1,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程．
【答案】解：(1)依题意得,c=1,∴1a=22a2=b2+1,
解得a=2,b=1,
∴椭圆E的标准方程为x22+y2=1．
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
①当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1,不符题意．
②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1),
由x22+y2=1y=k(x-1)得：(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
∴x1+x2=4k21+2k2,x1⋅x2=2(k2-1)1+2k2,
∴y1⋅y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-k21+2k2．
又∵OM⊥ON,∴OM⋅ON=0,
∴x1⋅x2+y1y2=k2-21+2k2=0,
解得k=±2,
∴直线l的方程为：y=±2(x-1)．
【解析】(1)根据椭圆的几何性质,求出a、b的值即可；
(2)讨论直线MN的斜率是否存在,设出MN的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系,结合OM⊥ON,OM⋅ON=0求出直线的斜率k,即可求出直线l的方程．
本题考查了椭圆的几何性质的应用问题,也考查了直线与椭圆的应用问题,考查了根与系数关系的应用问题,平面向量的应用问题,是综合题．

21. 已知椭圆C：x22+y2=1,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点．
(Ⅰ)求椭圆C的长轴和短轴的长,离心率e,左焦点F1；
(Ⅱ)已知P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,求△F1PF2的面积．
【答案】解：(Ⅰ)由椭圆C：x22+y2=1知a2=2,b2=1,
则a=2,b=1,故c=1,
所以椭圆C的长轴长2a=22,短轴长2b=2,
离心率e=ca=12=22,左焦点F1(-1,0)；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得a=2,b=1,c=1．
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=22①,
在Rt△PF1F2中,由勾股定理,
得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②,
①2-②,得2|PF1|⋅|PF2|=8-4=4,
∴|PF1|⋅|PF2|=2,
∴S△F1PF2=12|PF1|⋅|PF2|=12×2=1．
【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质及焦点三角形的面积,属于中档题．
(Ⅰ)由椭圆的方程及性质直接求解；
(Ⅱ)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=22①,
根据勾股定理|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②,①2-②,得|PF1|⋅|PF2|即可进行求解．

22. 在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43．
求椭圆C的方程．
设点P在椭圆C上,F1、F2为椭圆C的左右焦点,若∠F1PF2=π3,求△F1PF2的面积．
【答案】【小题1】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则由已知得：222a2+12b2=12a=43,
解得：a2=12b2=3,
∴椭圆方程为：x212+y23=1．
【小题2】解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则由已知得：222a2+12b2=12a=43,
解得：a2=12b2=3,
∴椭圆方程为：x212+y23=1．
∵a=23,b=3,
∴c=a2-b2=3,
设|PF1|=t1,|PF2|=t2,
则t1+t2=43,
,得t1t2=4,
．
【解析】1.
本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
首先设出椭圆方程,根据题意,将点(22,1)代入得到关于a和b的方程,再由椭圆几何意义得到2a=43,联立方程组即可求出椭圆方程．

2.
本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质,涉及焦点三角形问题,常用椭圆定义及余弦定理解决,是中档题．
首先由待定系数法求出椭圆的标准方程,再根据椭圆的方程求得c,进而得|F1F2|,设出|PF1|=t1,|PF2|=t2,利用余弦定理可求得t1t2的值,最后利用三角形面积公式求解．