高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课件ppt

环节三  抛物线的简单几何性质

【复习引入】

问题1：请回顾，抛物线的定义，抛物线的标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程．

答案：

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

问题2：前面我们已经学习了抛物线的概念及其标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下来我们应该研究什么？

答案：抛物线的几何性质．

追问：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，我们应该研究抛物线①的哪些几何性质？如何研究这些性质？

答案：范围、对称性、顶点、离心率．研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过方程①进行计算和推理．

【探索性质】

问题3：观察直角坐标系中的抛物线，它有怎样的范围？如何利用方程给出证明？

答案：．因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也在增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

问题4：观察抛物线的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴对称，就要证明什么？如何利用方程证明对称性？

答案：关于x轴对称．图形对称的本质是图形上点的对称性，因而需证明抛物线上任意一点关于x轴的对称点也在抛物线上．

以代替y，方程①不变，所以抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

问题5：观察抛物线的图形，比较特殊的点是哪个点？能通过方程说明什么？

答案：比较特殊的点是抛物线与坐标轴的交点．

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．

问题6：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义，e的值是多少？

答案：．

拓展：圆锥曲线统一定义

动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为常数e，当时，点M的轨迹为椭圆；当时，点M的轨迹为双曲线；当时，点M的轨迹为抛物线．其中e为圆锥曲线的离心率．

此为圆锥曲线的统一定义，亦是从另一个角度对离心率e进行认识．

问题7：根据抛物线的几何性质的研究思路及方法，探究其余三种形式的抛物线的几何性质，并完成表格．

答案：

【知识应用】

例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程．

解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为．

因为点M在抛物线上，所以，解得．

因此，所求抛物线的标准方程是．

追问：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程．

答案：有两条．

因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点，所以抛物线的开口向右或向下．

当抛物线的开口向右时，设抛物线的标准方程为．

因为点M在抛物线上，所以，解得．

因此，所求抛物线的标准方程是．

当抛物线的开口向下时，设抛物线的标准方程为．

因为点M在抛物线上，所以，解得．

因此，所求抛物线的标准方程是．

综上，所求抛物线的标准方程是或．

例2 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

追问1：能否求出A，B两点的坐标，再利用两点间的距离公式求线段AB的长？这种方法的思路是什么？

解：可以．由抛物线的方程可以能到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出，这种思路方法比较直接，具有一般性．

追问2：请尝试用这个一般性的方法求．

解：因为直线l经过点,且斜率为1，所以直线l的方程为．

联立，将代入，消去y，整理得，解得．将代入，得到相应的交点纵坐标．

不妨设,．由两点之间的距离公式，得

．

所以，线段AB的长是8．

追问3：在刚才的方法中，能否不求出A，B两点的坐标得到线段AB的长呢？

解：设,．由可知，求出，就可以求出．在第一种方法中，通过联立，得到．△>0显然成立，由韦达定理，可得，所以.因为，，所以．

因此．

追问4：我们来探索第三种方法．本题中，所求线段AB是一条过焦点的弦，叫做焦点弦，如图，．根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离．所以和可以怎样表示？转化为什么？

解：等于点A到准线的距离，等于点B到准线的距离．设,．由，得，于是．同理，．于是得．可见，只要求出点A，B的横坐标之和，就可以求出，这也是求抛物线焦点弦的典型方法．

追问5：能否尝试使用方法三解决本题，并写清步骤？

解：由题意可知，，焦点F的坐标为，准线方程为．设,，A，B两点到准线的距离分别为．由抛物线的定义，可知,，于是．

因为直线l的斜率为1，且过焦点，所以直线l的方程为

                                ．                               ①

将①代入方程，得，化简，得．

所以，．

所以，线段AB的长是8．

追问6：以上三种方法各自特点是什么？

答案：第一种方法最直接，具有一般性，但计算稍显复杂．第二种方法充分运用一元二次方程根与系数的关系，以及两个交点在一条直线上，适当简化运算，得到线段长．第三种方法充分运用抛物线的定义，使运算的复杂性大大简化，这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密的结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法．

追问7：如果直线l不经过焦点F，还等于吗？为什么？

答案：不等于．

设直线l经过x轴上任意一点，其中，则直线l的方程为．直线l与抛物线的两个交点为,，显然

．