高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线优质课课件ppt

环节二 抛物线及其标准方程（2）

复习回顾

问题1：上节课，我们探索了抛物线的定义及其标准方程，本节课我们先来回顾一下相关知识——抛物线是如何定义的？它的标准方程有几种形式？分别是怎样的？

答案：

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

抛物线的标准方程共有四种形式：

课堂探究

问题2：结合上表，比较四种形式下的抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程的相同点和不同点.并思考如何通过抛物线的方程确定其焦点位置．

答案：

相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称，它们到原点的距离都等于，焦点到准线的距离都为p．

不同点：（1）图形关于x轴对称时，方程中x为一次项，y为二次项，方程左边为，右边为±2px；图形关于y轴对称时，方程中y为一次项，x为二次项，方程左边为，右边为±2py．（2）开口方向与坐标轴正向一致时，焦点在此坐标轴正半轴上，方程右边取正号；开口方向与坐标轴负向一致时，焦点在此坐标轴负半轴上，方程右边取负号．

抛物线的焦点位置：看一次项的变量(x或y)定焦点所在轴，一次项系数的正负定焦点在正半轴或负半轴．

问题3：二次函数y=ax²（a≠0）的图象为什么是抛物线呢？指出它的焦点坐标、准线方程．

答案：二次函数y=ax²（a≠0）可化为．它表示的曲线是以为焦点，为准线的抛物线．

追问：它的开口方向是怎样的？

答案：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．

知识应用

例1 (1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．

解：(1)因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是；

(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是．

练习1 根据下列条件写出抛物线的标准方程．

(1)焦点坐标是(-5，0)；

(2)准线方程是；

(3)焦点到准线的距离是；

(4)焦点在直线上．

解：(1)因为抛物线的焦点在x轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是．

(2)因为抛物线的准线方程是，且，所以抛物线的标准方程是．

(3)因为焦点到准线的距离是，即p=2，所以抛物线的标准方程是，或，或，或．

(4)令x=0，由方程，得y=-4，所以抛物线的焦点坐标是(0，-4)，则抛物线的焦点在y轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是；

令y=0，由方程，得x=4，所以抛物线的焦点坐标是(4，0)，则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且，所以抛物线的标准方程是．

综上，所求抛物线方程为或．

例2 一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如右图．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

解：如图(1)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上．

设抛物线的标准方程是．

由已知条件，得点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得，即．

故所求抛物线得标准方程是，焦点坐标是(1.44，0)．

练习2 点M为抛物线上一点，若的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是多少？

解：如图，由点M为抛物线上一点，且它的横坐标为x0，可得点M到准线的距离为．

由抛物线的定义可知，点M到焦点的距离等于它到准线的距离，

所以点M到焦点的距离等于．