数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试习题

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第三章综合训练
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·OQ=2,则点P的轨迹方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.x2+y2=2 B.x2-y2=2
C.x+y2=2 D.x-y2=2
解析设P(x,y),Q(x,-y),则OP·OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2.故选B.
答案B
2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是(　　)
A.12 B.32 C.1 D.3
解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-y23=1的一条渐近线3x-y=0的距离为|3×1-0|(3)2+(-1)2=32.故选B.
答案B
3.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的短轴长是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
依题意得,2a=10,∴a=5.又c=3,
∴b2=a2-c2=16,即b=4.
因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C.
答案C
4.过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于(　　)
A.24 B.22 C.14 D.12
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0.根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2×-12=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),
整理得a2=2c2,所以ca=22,所以e=22.
答案B
5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=3FQ,则|QF|=(　　)
A.83 B.52 C.3 D.2

解析∵FP=3FQ,∴点Q在P,F之间,过点Q作QM⊥l.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4.又易知△PQM∽△PFN,
则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=23,
∴|QM|=83,即|QF|=83.故选A.
答案A
6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±2y=0 B.2x±y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,
则e1·e2=c1a·c2a=a2-b2a·a2+b2a=a4-b4a2=32,所以ba=22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±bax=±22x,即x±2y=0.
答案A
7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为(　　)
A.4x221-4y225=1 B.4x221+4y225=1
C.4x225-4y221=1 D.4x225+4y221=1
解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y).∵AQ的垂直平分线交CQ于点M,
∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,
∴|MC|+|MA|=5>|AC|.
依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,∴b=212,故椭圆方程为x2254+y2214=1,即4x225+4y221=1.故选D.
答案D
8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)
A.3 B.2
C.233 D.2
解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.
双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),
则4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,
当P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,
当P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,
两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,
即4c2=ce12+3ce2,
所以1e12+31e2=4,又1e1=e,
所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,
解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心率为3.
答案A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则(　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0时,方程表示两条直线
D.方程表示的曲线不可能为抛物线
解析当mn>0时,原方程整理得x21m+y21n=1,若m,n同负,或1m=1n,则方程不表示椭圆,故A错误:当mn<0时,1m与1n异号,方程表示双曲线,故B正确;当m=0时,方程是ny2=1,当n≤0时,方程无解,故C错误;无论m,n为何值,方程都不可能表示抛物线,故D正确.故选BD.
答案BD
10.以下关于圆锥曲线的说法不正确的是(　　)
A.设A,B为两个定点,k为非零常数,||PA|-|PB||=k,则动点P的轨迹为双曲线
B.过定圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆
C.若曲线C:x24-k+y2k-1=1为双曲线,则k<1或k>4
D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有2条
解析根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A不正确;
∵OP=12(OA+OB),
∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B不正确;显然C正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线:x=0,y=1,y=x+1,故D不正确.故选ABD.
答案ABD
11.已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是(　　)
A.2-1 B.22
C.2 D.2+1
解析因为△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,
所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a=ABCA+CB=22,
当C=π4时,离心率e=ABCA+CB=12+1=2-1;
(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=π4,
此时,离心率e=2c2a=AB|CA-CB|=12-1=2+1.
答案ABD
12.(2020山东济南一中月考)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且MF1·MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=π3,则正确的是(　　)
A.e2e1=2 B.e1·e2=32
C.e12+e22=52 D.e22-e12=1
解析因为MF1·MF2=0且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,
设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.
在焦点三角形PF1F2中,|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a',
则x2+y2-xy=4c2,x+y=22c,|x-y|=2a',故xy=43c2,
从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,
所以(a')2=2c23,即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22-e12=1.
答案BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x的双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　. 
解析由题意2a=6,∴a=3.当焦点在x轴上时,
∵双曲线的渐近线方程为y=±32x,
∴b3=32,∴b=92,∴方程为x29-y2814=1;
当焦点在y轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±32x,
∴3b=32,∴b=2,∴方程为y29-x24=1.
故双曲线的标准方程为y29-x24=1或x29-y2814=1.
答案y29-x24=1或x29-y2814=1
14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是　　　　　. 

解析不妨设焦点在x轴上,则椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),如图所示.
若点M满足MF1·MF2=0,则MF1⊥MF2,可得点M在以F1F2为直径的圆上运动.
∵满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,
∴以F1F2为直径的圆是椭圆内部的一个圆,即圆的半径小于椭圆的短半轴长.
由此可得b>c,即a2-c2>c,解得a>2c.
因此椭圆的离心率e=ca<22,
∴椭圆离心率的取值范围是0,22.
答案0,22
15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.

已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|=　　　　　. 
解析以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向(图略).设抛物线方程为x2=-2py,将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,
∴x2=-2y,焦点0,-12,
即直线方程为y=2x-12,
联立方程x2=-2y,y=2x-12,
得4y2+36y+1=0,有y1+y2=-9,
∵焦点在y轴负半轴,∴由焦点弦公式得|AB|=-(y1+y2)+p=10.
答案10
16.已知点F(-c,0)(c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y2=4cx上,则该双曲线的离心率的平方e2的值为　　　　　. 

解析如图,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径.
设P(x,y)(x>0),
则有
y2=4cx,　　　　　　　①x2+y2=c2,②yx+c=ba,③
将①代入②得x2+4cx-c2=0,
则x=-4c±25c2=-2c±5c,即x=(5-2)c或x=(-5-2)c(舍去),
将x=(5-2)c代入③,得y5c-2c+c=ba,即y=bc(5-1)a,再将x,y的表达式代入①,得
b2c2(5-1)2a2=4c2(5-2),即b2(5-1)2a2=4(5-2),
∴b2a2=4(5-2)(5-1)2=c2-a2a2=e2-1,
解得e2=5+12.
答案5+12
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是32.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点B作直线m交双曲线于M,N两点,若OM·ON=-23,求直线m的方程.
解(1)依题意得l的方程为xa+y-b=1,
即bx-ay-ab=0.
由原点O到直线l的距离为32,得aba2+b2=abc=32,
又e=ca=233,∴b=1,a=3.
故所求双曲线方程为x23-y2=1.
(2)显然直线m不与x轴垂直,设直线m的方程为y=kx-1,则点M(x1,y1),N(x2,y2)是方程组y=kx-1,x23-y2=1的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①
依题意知1-3k2≠0,当Δ=36k2-4(1-3k2)·(-6)=24-36k2>0,即k2<23时,由根与系数的关系,得x1+x2=6k3k2-1,x1x2=63k2-1,
∵OM·ON=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1=6(1+k2)3k2-1-6k23k2-1+1=63k2-1+1=-23,解得k=±12.
当k=±12时,方程①均有两个不相等的实数根,
∴直线m的方程为y=12x-1或y=-12x-1.
18.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?
解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,
知点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,
又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,
|PQ|=42.
当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有x12=4y1,x22=4y2,两式作差得x12-x22=4(y1-y2),
即得k=x1+x24=t2,则直线l2的方程为y-2=t2(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.
由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,
|PQ|=　(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+t24[4t2-4(2t2-8)]=(8-t2)(4+t2)≤6,当且仅当8-t2=4+t2,即t=±2时,等号成立.
即|PQ|的最大值为6.
19.

(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足OP=OA+OB,求四边形OAPB的面积.
解(1)由题意知c=1,a=2,则b=3,故椭圆C的方程是x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
设直线l:y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
故Δ=48(4k2+3-m2)>0且x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.
由OP=OA+OB,可得x0=x1+x2,y0=y1+y2,
又点P在椭圆C上,所以(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,
其中x1+x2=-8km3+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2,
代入(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,化简可得4m2=3+4k2.
|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2(43×3+4k2-m2)3+4k2,
坐标原点到直线l的距离d=|m|1+k2.
所以四边形OAPB的面积
S=|AB|·d=43×3+4k2-m2·|m|3+4k2
=12m24m2=3.
20.

(12分)在平面直角坐标系中,椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.
(1)若点C的横坐标为-1,求点P的坐标;
(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且AC=λAQ,求实数λ的取值范围.
解(1)由题意得ca=12,2a=4,解得a=2,c=1,
∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆M的方程是x24+y23=1,且A(-2,0),B(2,0),
设P(x0,y0),则kPA=y0x0+2,∵l1⊥PA,∴直线AC的方程为y=-x0+2y0(x+2),
同理,直线BC的方程为y=-x0-2y0(x-2).
联立方程y=-x0+2y0(x+2),y=-x0-2y0(x-2),解得x=-x0,y=x02-4y0,
又∵x02-4y0=4-43y02-4y0=-43y0,
∴点C的坐标为(-x0,-43y0),
∵点C的横坐标为-1,∴x0=1.
又P为椭圆M上第一象限内一点,∴y0=32,
∴P点的坐标为1,32.
(2)设Q(xQ,yQ),∵AC=λAQ,
∴-x0+2=λ(xQ+2),-43y0=λyQ,
解得xQ=-x0λ+2λ-2,yQ=-43λy0,
∵点Q在椭圆M上,∴14-x0λ+2λ-22+13-43λy02=1,又y02=31-x024,
整理得7x02-36(λ-1)x0+72λ-100=0,解得x0=2或x0=36λ-507,
∵P为椭圆M上第一象限内一点,∴0<36λ-507<2,解得2518<λ<169,故λ的取值范围为2518,169.
21.

(12分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明设定点M(y02,y0),点E(xE,yE),F(xF,yF),直线ME的斜率为k(k>0),
由|MA|=|MB|可知直线MF的斜率为-k,
即直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由y-y0=k(x-y02),y2=x,
消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0,
解得yE=1-ky0k,则xE=(1-ky0)2k2.
同理可得yF=1+ky0-k,xF=(1+ky0)2k2.
故直线EF的斜率
kEF=yE-yFxE-xF=1-ky0k-1+ky0-k(1-ky0)2k2-(1+ky0)2k2=
2k-4ky0k2=-12y0(定值).
因此,直线EF的斜率为定值.
(2)解设动点M(y02,y0).
∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.
∴直线ME的方程为y-y0=x-y02.
由y-y0=x-y02,y2=x得E((1-y0)2,1-y0).
同理可得F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y),则有
x=xM+xE+xF3=y02+(1-y0)2+(1+y0)23=2+3y023,y=yM+yE+yF3=y0+(1-y0)-(1+y0)3=-y03,
消去参数y0,得y2=19x-227x>23.
22.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.
(1)证明∵圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
∴圆心M(1,0),半径|MB|=4.
又过点N作AM的平行线交BM于点C,
∴AM∥NC.
又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,
∴|CN|=|CB|.
∴|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,
∴点C的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).
(2)解由(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0),
易知k≠0,设P(x1,y1),由y=kx,x24+y23=1消去y,得(3+4k2)x2=12,解得x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,
则|OP|=x12+y12=123+4k2+12k23+4k2=12(1+k2)3+4k2.
∵△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,
∴RO⊥PQ,∴kRO·kPQ=-1,则kRO=-1k.
同理,|OR|=12[1+(-1k) 2]3+4(-1k) 2
=12(1+k2)3k2+4.
∴S△RPQ=12×|PQ|×|OR|
=12×2×12(1+k2)3+4k2×12(1+k2)3k2+4
=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2).
(方法1)S△RPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)≥12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,
当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时,等号成立.
∴S△RPQmin=247.
(方法2)S△RPQ=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)
=12k4+2k2+112k4+25k2+12
=12k4+2k2+112(k4+2k2+1)+k2
=12112+k2k4+2k2+1=1212+1k2+2+1k2
≥1212+14=247,
当且仅当k2=1k2,即k=±1时,等号成立.
∴S△RPQmin=247.