高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教学设计

课程目标

学科素养

A. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

B．理解子集、真子集的概念；

C．能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

1.数学抽象：集合间的关系的含义  ；

2.逻辑推理：由集合的元素的关系推导集合之间的关系；

3.数学运算：由集合与集合之间的关系求值；

4.直观想象：体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入，温故知新

（一）学生回答下列问题：

1.集合、元素的概念
2.元素与集合的关系：属于，不属于
3.集合中元素的三大特性： 确定性、互异性，无序性
3.集合的表示方法：列举法、描述法
4.常用数集：
（二）练习

用列举法表示下列集合：

（1） ；（2）

（三）思考1：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

二、探索新知

探究一 子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3},       B={1,2,3,4,5};
② A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,  B为这个班全体学生组成的集合;
③ A={x| x＞2},  B={x | x＞1};
2.子集定义：

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
记作：

读作：“A含于B” (或“B包含A”)
符号语言：任意有 则。

3.韦恩图（Venn图）：
用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.

牛刀小试1：

下图中，集合A是否为集合B的子集？

牛刀小试2

判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（     ）打√，若不是则在（     ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}          ( √   )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9}             ( ×   )
③A={0},   B={x | x2+2=0}          ( ×   )
④A={a,b,c,d},  B={d,b,c,a}          ( √  )
思考2：与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。相类比，在集合中，你能得出什么结论?
探究二   集合相等

1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系
（1）A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，
B＝｛x｜x是等腰三角形｝.
（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．
2.定义：如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ任何一个元素都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作Ａ＝Ｂ

牛刀小试3：

【答案】A=B。

探究三   真子集
1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：

（1）          A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}；

（2）A={四边形}, B={多边形}。

2.定义：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且xA，并且A≠B,称集合A是集合B的真子集．
记作： AB（或BA）  

读作：“A真含于B”（或B真包含A）。

韦恩图表示：

探究四    空  集
1.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集。即B，（B） 

例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程 x2+1=0的实数根组成的集合为。
问题：你还能举几个空集的例子吗？

2.深化概念：

（1）包含关系与属于关系有什么区别？

【解析】前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.

（2）集合 AB 与集合有什么区别 ？    

【解析】   A = B或A B.

（3）.0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?
【解析】{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}
3.结论：

由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即。

（2）对于集合A、B、C，若则（类比，则）。

例1.  写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解：集合{a，b}的子集：

，{a},{b} ,{a, b}。

   集合{a，b}真子集

，{a},{b}。

【规律总结】写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.
写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个.
变式练习：

1.写出集合{a, b, c}的所有子集并指出，真子集.

解：集合{a, b, c}子集：

，{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}

   集合{a, b, c}真子集

，{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c}

例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

通过回顾上节所学知识，用练习巩固上节所学 。

由实数间的关系让学生思考集合间的关系。  

由具体例子，让学生感知、了解，进而概括出子集的含义.提高学生用数学抽象的思维方式 思考并解决问题的能力。

用数学语言表示集合间的关系。

通过具体的例子巩固子集的含义 ，教会学生解决和研究问题。

由具体例子，让学生概括出集合相等的含义.提高学生用数学抽象的思维方式 思考并解决问题的能力。

用数学语言表示集合间的关系。

通过练习巩固集合相等的定义，提高学生解决问题的能力。

由具体例子，让学生概括出真子集的含义.提高学生分析、 解决问题的能力。

通过具体的例子巩固空集的含义。

让学生举例，进一步巩固空集的定义。

辨析、、 之间的区别，加深对概念的理解。

学生通过对实例或问题的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。

三、达标检测

1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有(        )

A．2个 B．4个

C．6个 D．8个

【解析】 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.

【答案】 B

2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(  )

A．P＝{－3,0,1}

B．Q＝{－1,0,1,2}

C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}

D．S＝{x||x|≤，x∈N}

【解析】 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.

【答案】 D

3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为(  )

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.

【答案】 B

4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(  )  

A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}

C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}

【解析】 由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．

【答案】 D

5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．

【解】 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，

所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 本节课我们主要学习了哪些内容？
2. 集合间的基本关系有哪些？
3. 本节课主要用到了哪些数学思想方法？

五、作业

习题1.1    1,2题

通过总结，让学生进一步巩固集合间的基本关系，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。