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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制优秀学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制优秀学案，共19页。学案主要包含了能力提升等内容，欢迎下载使用。
《任意角和弧度制》；《三角函数的概念》
任意角和弧度制
重点
任意角的概念，各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题。
了解弧度制，明确1弧度的含义、掌握弧度与角度的互化、理解弧度数的计算公式及其应用。
难点
掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。
理解弧度数的计算公式及其应用。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单、中等
核心知识点一：任意角
1. 任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点。角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”。
（3）角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
2. 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
核心知识点二：弧度制
1. 角的单位制
（1）角度制
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2）弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写。
（3）角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝。
2. 角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0. 017 45 rad
1 rad＝（）°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×（）°＝度数
3. 扇形的弧长及面积公式
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝|α|·r
S＝lr＝|α|r2
典例一：任意角的概念
给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角。
其中正确说法的序号为。（把正确说法的序号都写上）
答案：①
解析：（1）锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误。
【能力提升】写出下列说法所表示的角。
（1）顺时针拧螺丝2圈；
（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角。
解 （1）顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°。
（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°。
总结提升：解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念。角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小。
典例二：角度制和弧度制的互化
将下列角度与弧度进行互化。
（1）112°30′；（2）－15°；（3）；（4）－。
解：（1）112°30′＝°＝×＝。
（2）－15°＝－＝－。
（3）＝×180°＝105°。
（4）－＝－×180°＝－396°。
总结提升：
将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解。把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可。
典例三：终边相同的角
（1）把－1 480°写成α＋2kπ（k∈Z）的形式0≤α≤2π，并指出是第几象限角
（2）若β∈[－4π，0]，且β与（1）中α终边相同，求β。
解析：（1）∵－1 480°＝－＝－＝－10π＋，
又0≤≤2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×（－5）π。
是第四象限角
（2）由（1）可知α＝。
∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z。
又∵β∈[－4π，0]，∴－≤k≤－。
令k＝－1，则β＝－，
令k＝－2，则β＝－。
故β＝－或－。
总结提升：
表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ（k∈Z）”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°（k∈Z）”中，α必须是用角度制表示的角。
典例四：区域角的表示
写出如图所示阴影部分的角α的范围。
解析：因与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式。所以图中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}。
总结提升：
表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
典例五：扇形的弧长及面积公式的应用
直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积。
（1）；（2）165°。
解析：（1）l＝|α|·r＝π×10＝π（cm），
S＝|α|·r2＝×π×102＝π（cm2）。
（2）165°＝×165 rad＝π rad。
∴l＝|α|·r＝π×10＝π（cm），
S＝l·r＝×π×10＝π（cm2）。
总结提升：
（1）在应用弧长公式l＝|α|·r与扇形面积公式S＝|α|·r2＝l·r时，圆心角α的单位必须是弧度。
（2）扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积S，弧长l，圆心角α，半径r，已知其中的三个量一定能求得第四个量（通过方程求得），已知其中的两个量能求得剩余的两个量（通过方程组求得）。
反思与感悟：联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个。求解时应注意先把度化为弧度，再计算。
1. 对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”。
2. 关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
注意：（1）α为任意角；
（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）；
（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
（4）k∈Z这一条件不能少。
3. 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。
4. 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式。
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数。
5. 在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度。
（答题时间：30分钟）
1. 把－1 485°化成k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（ ）
A. 315°－5×360° B. 45°－4×360°
C. －315°－4×360° D. －45°－10×180°
2. 若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A. A＝B B. B＝C
C. A＝C D. A＝D
4. 时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是（ ）
A. 80° B. －80°
C. 960° D. －960°
5. 若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为（ ）
A. 2kπ＋β（k∈Z） B. 2kπ－β（k∈Z）
C. kπ＋β（k∈Z） D. kπ－β（k∈Z）
6. 设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则（ ）
A. A∩B＝ B. AB
C. BA D. A＝B
7. －300°化为弧度是（ ）
A. －π B. －π
C. －π D. －π
8. 下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A. 2kπ＋45°（k∈Z）
B. k·360°＋（k∈Z）
C. k·360°－315°（k∈Z）
D. kπ＋（k∈Z）
9. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 60°化成弧度是
B. －π化成度是－600°
C. －150°化成弧度是－π
D. 化成度是15°
10. 设角α＝－2弧度，则α所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
11. 把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使|θ|最小的θ值是（ ）
A. －π B. －2π
C. π D. －π
12. 若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为（ ）
A. 1∶3 B. 2∶3
C. 4∶3 D. 4∶9
13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作。其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2）。弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A. 6 m2 B. 9 m2
C. 12 m2 D. 15 m2
1. 答案：A
解析：可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间。
∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°。
2. 答案：C
解析：可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角。
3. 答案：D
解析：直接根据角的分类进行求解，容易得到答案。
4. 答案：D
解析：分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×（2＋）＝－960°。
5. 答案：B
解析：∵α与β的终边关于x轴对称，
∴α＋β＝2kπ（k∈Z），
∴α＝2kπ－β（k∈Z）。故选B。
6. 答案：D
解析：对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋（2k＋1）·90°。
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B。故选D。
7. 答案：B
解析：－300°＝－300×＝－π。
8. 答案：C
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确。
＝2π＋，所以与的终边相同。
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同。故选C。
9. 答案：C
解析：C项中－150°＝－150×＝－π。
10. 答案：C
解析：∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，
即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，
∴α为第三象限角。
11. 答案：A
解析：∵－π＝－2π＋
＝2×（－1）π＋，
∴θ＝－π。
12. 答案：B
解析：设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r。
∴S内切圆＝πr2。
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2。
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3。
13. 答案：B
解析：根据题设，弦＝2×4sin＝4（m），矢＝4－2＝2（m），
故弧田面积＝×（弦×矢＋矢2）＝（4×2＋22）
＝4＋2≈9（m2）。
三角函数的概念
重点
1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数；
2. 借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。
3. 通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。
难点
三角函数的单位圆定义与比值定义；
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单、中等
核心知识点一：三角函数的定义
1. 单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
2. 定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝（x≠0）。
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。
核心知识点二：三角函数的正负
3. 三角函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
正切函数
{x|x∈R，且x≠k+，k∈Z}
4. 三角函数在各象限的正负
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
5. 诱导公式一
sin（α＋k·2π）＝sin α，
cos（α＋k·2π）＝cos α，
tan（α＋k·2π）＝tan α，
其中k∈Z。
典例一：已知角α终边上一点坐标求三角函数值
已知θ终边上一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝x，求sin θ，tan θ。
解：由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝。
又∵cos θ＝x，∴＝x。
∵x≠0，∴x＝±1。
当x＝1时，P（1，3），
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3。
当x＝－1时，P（－1，3），
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3。
总结提升：
（1）已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值。
②在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r>0），则sin α＝，cos α＝。当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便。
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。
典例二：已知角α终边所在直线求三角函数值
已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值。
解：由题意知，cos α≠0。
设角α的终边上任一点为P（k，－3k）（k≠0），则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|。
（1）当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0。
（2）当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×（－）
＝3－3＝0。
综上所述，10sin α＋＝0。
总结提升：
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的（a，b），则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝。
典例三：三角函数值符号的判断
（1）若α是第二象限角，则点P（sin α，cos α）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
答案：D
解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D。
（2）确定下列各三角函数值的符号。
①sin 182°；②cos（－43°）；③tan。
解 ①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”。
②∵－43°是第四象限角，
∴cos（－43°）是正的，符号是“＋”。
③∵是第四象限角，
∴tan是负的，符号是“－”。
总结提升：
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
典例四：任意角的三角函数值的求法——诱导公式一的应用
求下列各式的值。
（1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）sin 750°；
（2）sin＋cos·tan 4π。
解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝。
（2）原式＝sin＋cos·tan（4π＋0）＝sin＋cos×0＝。
总结提升：
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”。
1. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数。
2. 角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
3. 终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等。
（答题时间：30分钟）
1. 已知角α的终边经过点（－4，3），则cos α等于（ ）
A. B.
C. － D. －
2. cos（－）等于（ ）
A. B. －
C. D. －
3. 若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于（ ）
A. － B.
C. D. －
4. 当α为第二象限角时，－的值是（ ）
A. 1 B. 0
C. 2 D. －2
5. 已知角α的终边经过点P（3，4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t等于（ ）
A. － B.
C. D. －
6. 某点从（1，0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果点P（sin θ＋cos θ，sin θcosθ）位于第二象限，那么角θ的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
8. 若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于（ ）
A. ± B. ±
C. ± D. ±
二、填空题
9. tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝_________。
10. 使得lg（cos αtan α）有意义的角α是第_________象限角。
11. 若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝_________。
12. 函数y＝＋－的值域是_________。
三、解答题
13. 化简下列各式：
（1）sin π＋cos π＋cos（－5π）＋tan；
（2）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°。
1. 答案：D
解析：由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－。故选D。
2. 答案：C
解析：cos（－）＝cos（－2π＋）＝cos ＝。
3. 答案：D
解析：∵cos α＝＝，
∴＝5，∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－。
4. 答案：C
解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0。
∴－＝－＝2。
5. 答案：A
解析：sin（2kπ＋α）＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限。又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0。又sin α＝，则＝－，所以t＝－。
6. 答案：A
解析：由三角函数定义可得Q，
cos ＝－，sin＝。
7. 答案：C
解析：由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcosθ＞0，
∴∴θ为第三象限角。
8. 答案：C
9. 答案：
解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（720°＋30°）＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝。
10. 答案：一或二
解析：要使原式有意义，需cos αtan α>0，
即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角。
11. 答案：2
解析：∵y＝3x且sin α<0，
∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m。
∴|OP|＝＝|m|
＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2。
12. 答案：{－4，0，2}
解析：由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcosx>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcosx<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcosx>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcosx<0，y＝2。
故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}。
13. 解：（1）原式＝sinπ＋cos＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1。
（2）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan（3×360°＋45°）
＝a2＋b2＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2。
《任意角和弧度制》；《三角函数的概念》
任意角和弧度制
重点
任意角的概念，各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题。
了解弧度制，明确1弧度的含义、掌握弧度与角度的互化、理解弧度数的计算公式及其应用。
难点
掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。
理解弧度数的计算公式及其应用。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单、中等
核心知识点一：任意角
1. 任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点。角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”。
（3）角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
2. 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
核心知识点二：弧度制
1. 角的单位制
（1）角度制
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2）弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写。
（3）角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝。
2. 角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0. 017 45 rad
1 rad＝（）°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×（）°＝度数
3. 扇形的弧长及面积公式
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝
S＝
弧度制
l＝|α|·r
S＝lr＝|α|r2
典例一：任意角的概念
给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角。
其中正确说法的序号为。（把正确说法的序号都写上）
答案：①
解析：（1）锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误。
【能力提升】写出下列说法所表示的角。
（1）顺时针拧螺丝2圈；
（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角。
解 （1）顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°。
（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°。
总结提升：解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念。角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小。
典例二：角度制和弧度制的互化
将下列角度与弧度进行互化。
（1）112°30′；（2）－15°；（3）；（4）－。
解：（1）112°30′＝°＝×＝。
（2）－15°＝－＝－。
（3）＝×180°＝105°。
（4）－＝－×180°＝－396°。
总结提升：
将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解。把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可。
典例三：终边相同的角
（1）把－1 480°写成α＋2kπ（k∈Z）的形式0≤α≤2π，并指出是第几象限角
（2）若β∈[－4π，0]，且β与（1）中α终边相同，求β。
解析：（1）∵－1 480°＝－＝－＝－10π＋，
又0≤≤2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×（－5）π。
是第四象限角
（2）由（1）可知α＝。
∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z。
又∵β∈[－4π，0]，∴－≤k≤－。
令k＝－1，则β＝－，
令k＝－2，则β＝－。
故β＝－或－。
总结提升：
表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ（k∈Z）”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°（k∈Z）”中，α必须是用角度制表示的角。
典例四：区域角的表示
写出如图所示阴影部分的角α的范围。
解析：因与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式。所以图中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}。
总结提升：
表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
典例五：扇形的弧长及面积公式的应用
直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积。
（1）；（2）165°。
解析：（1）l＝|α|·r＝π×10＝π（cm），
S＝|α|·r2＝×π×102＝π（cm2）。
（2）165°＝×165 rad＝π rad。
∴l＝|α|·r＝π×10＝π（cm），
S＝l·r＝×π×10＝π（cm2）。
总结提升：
（1）在应用弧长公式l＝|α|·r与扇形面积公式S＝|α|·r2＝l·r时，圆心角α的单位必须是弧度。
（2）扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积S，弧长l，圆心角α，半径r，已知其中的三个量一定能求得第四个量（通过方程求得），已知其中的两个量能求得剩余的两个量（通过方程组求得）。
反思与感悟：联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个。求解时应注意先把度化为弧度，再计算。
1. 对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”。
2. 关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
注意：（1）α为任意角；
（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）；
（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
（4）k∈Z这一条件不能少。
3. 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应。
4. 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式。
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数。
5. 在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度。
（答题时间：30分钟）
1. 把－1 485°化成k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（ ）
A. 315°－5×360° B. 45°－4×360°
C. －315°－4×360° D. －45°－10×180°
2. 若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A. A＝B B. B＝C
C. A＝C D. A＝D
4. 时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是（ ）
A. 80° B. －80°
C. 960° D. －960°
5. 若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为（ ）
A. 2kπ＋β（k∈Z） B. 2kπ－β（k∈Z）
C. kπ＋β（k∈Z） D. kπ－β（k∈Z）
6. 设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则（ ）
A. A∩B＝ B. AB
C. BA D. A＝B
7. －300°化为弧度是（ ）
A. －π B. －π
C. －π D. －π
8. 下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A. 2kπ＋45°（k∈Z）
B. k·360°＋（k∈Z）
C. k·360°－315°（k∈Z）
D. kπ＋（k∈Z）
9. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 60°化成弧度是
B. －π化成度是－600°
C. －150°化成弧度是－π
D. 化成度是15°
10. 设角α＝－2弧度，则α所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
11. 把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使|θ|最小的θ值是（ ）
A. －π B. －2π
C. π D. －π
12. 若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为（ ）
A. 1∶3 B. 2∶3
C. 4∶3 D. 4∶9
13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作。其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2）。弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A. 6 m2 B. 9 m2
C. 12 m2 D. 15 m2
1. 答案：A
解析：可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间。
∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°。
2. 答案：C
解析：可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角。
3. 答案：D
解析：直接根据角的分类进行求解，容易得到答案。
4. 答案：D
解析：分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×（2＋）＝－960°。
5. 答案：B
解析：∵α与β的终边关于x轴对称，
∴α＋β＝2kπ（k∈Z），
∴α＝2kπ－β（k∈Z）。故选B。
6. 答案：D
解析：对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋（2k＋1）·90°。
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B。故选D。
7. 答案：B
解析：－300°＝－300×＝－π。
8. 答案：C
解析：A，B中弧度与角度混用，不正确。
＝2π＋，所以与的终边相同。
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同。故选C。
9. 答案：C
解析：C项中－150°＝－150×＝－π。
10. 答案：C
解析：∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，
即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，
∴α为第三象限角。
11. 答案：A
解析：∵－π＝－2π＋
＝2×（－1）π＋，
∴θ＝－π。
12. 答案：B
解析：设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r。
∴S内切圆＝πr2。
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2。
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3。
13. 答案：B
解析：根据题设，弦＝2×4sin＝4（m），矢＝4－2＝2（m），
故弧田面积＝×（弦×矢＋矢2）＝（4×2＋22）
＝4＋2≈9（m2）。
三角函数的概念
重点
1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数；
2. 借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。
3. 通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等。
难点
三角函数的单位圆定义与比值定义；
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 简单、中等
核心知识点一：三角函数的定义
1. 单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
2. 定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝（x≠0）。
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。
核心知识点二：三角函数的正负
3. 三角函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
正切函数
{x|x∈R，且x≠k+，k∈Z}
4. 三角函数在各象限的正负
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
5. 诱导公式一
sin（α＋k·2π）＝sin α，
cos（α＋k·2π）＝cos α，
tan（α＋k·2π）＝tan α，
其中k∈Z。
典例一：已知角α终边上一点坐标求三角函数值
已知θ终边上一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝x，求sin θ，tan θ。
解：由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝。
又∵cos θ＝x，∴＝x。
∵x≠0，∴x＝±1。
当x＝1时，P（1，3），
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3。
当x＝－1时，P（－1，3），
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3。
总结提升：
（1）已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值。
②在α的终边上任选一点P（x，y），设P到原点的距离为r（r>0），则sin α＝，cos α＝。当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便。
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。
典例二：已知角α终边所在直线求三角函数值
已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值。
解：由题意知，cos α≠0。
设角α的终边上任一点为P（k，－3k）（k≠0），则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|。
（1）当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0。
（2）当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×（－）
＝3－3＝0。
综上所述，10sin α＋＝0。
总结提升：
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的（a，b），则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝。
典例三：三角函数值符号的判断
（1）若α是第二象限角，则点P（sin α，cos α）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
答案：D
解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D。
（2）确定下列各三角函数值的符号。
①sin 182°；②cos（－43°）；③tan。
解 ①∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”。
②∵－43°是第四象限角，
∴cos（－43°）是正的，符号是“＋”。
③∵是第四象限角，
∴tan是负的，符号是“－”。
总结提升：
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
典例四：任意角的三角函数值的求法——诱导公式一的应用
求下列各式的值。
（1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）sin 750°；
（2）sin＋cos·tan 4π。
解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝。
（2）原式＝sin＋cos·tan（4π＋0）＝sin＋cos×0＝。
总结提升：
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”。
1. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数。
2. 角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
3. 终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等。
（答题时间：30分钟）
1. 已知角α的终边经过点（－4，3），则cos α等于（ ）
A. B.
C. － D. －
2. cos（－）等于（ ）
A. B. －
C. D. －
3. 若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于（ ）
A. － B.
C. D. －
4. 当α为第二象限角时，－的值是（ ）
A. 1 B. 0
C. 2 D. －2
5. 已知角α的终边经过点P（3，4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t等于（ ）
A. － B.
C. D. －
6. 某点从（1，0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果点P（sin θ＋cos θ，sin θcosθ）位于第二象限，那么角θ的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
8. 若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于（ ）
A. ± B. ±
C. ± D. ±
二、填空题
9. tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝_________。
10. 使得lg（cos αtan α）有意义的角α是第_________象限角。
11. 若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝_________。
12. 函数y＝＋－的值域是_________。
三、解答题
13. 化简下列各式：
（1）sin π＋cos π＋cos（－5π）＋tan；
（2）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°。
1. 答案：D
解析：由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－。故选D。
2. 答案：C
解析：cos（－）＝cos（－2π＋）＝cos ＝。
3. 答案：D
解析：∵cos α＝＝，
∴＝5，∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－。
4. 答案：C
解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0。
∴－＝－＝2。
5. 答案：A
解析：sin（2kπ＋α）＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限。又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0。又sin α＝，则＝－，所以t＝－。
6. 答案：A
解析：由三角函数定义可得Q，
cos ＝－，sin＝。
7. 答案：C
解析：由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcosθ＞0，
∴∴θ为第三象限角。
8. 答案：C
9. 答案：
解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（720°＋30°）＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝。
10. 答案：一或二
解析：要使原式有意义，需cos αtan α>0，
即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角。
11. 答案：2
解析：∵y＝3x且sin α<0，
∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m。
∴|OP|＝＝|m|
＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2。
12. 答案：{－4，0，2}
解析：由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcosx>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcosx<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，
sin xcosx>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcosx<0，y＝2。
故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}。
13. 解：（1）原式＝sinπ＋cos＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1。
（2）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan（3×360°＋45°）
＝a2＋b2＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2。
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