高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优秀学案设计

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三角函数
正、余弦函数的图象与性质

重点
1. 能够用五点法画正余弦函数图象；
2. 会求函数y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）的周期。
3. 会判断简单三角函数的奇偶性。
4. 求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间及最值
难点
判断y＝Asin（ωx＋φ）的奇偶性，求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间及最值
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 中等





核心知识点一：正、余弦函数的图像
1. “五点法”作正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的步骤：
（1）列表
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
cos x
1
0
－1
0
1

（2）描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
（0，0），，（π，0），，（2π，0）；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）。
（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图。
2. 正、余弦函数的图象

y＝sin x y＝cos x

核心知识点二：函数的周期性
（1）对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
（2）如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f（x）的最小正周期。
（3）由sin（x＋2kπ）＝sin x，cos（x＋2kπ）＝cos x（k∈Z）知，y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ （k∈Z且k≠0）都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π。

核心知识点三：函数的奇偶性
（1）对于y＝sin x，x∈R恒有sin（－x）＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称。
（2）对于y＝cos x，x∈R恒有cos（－x）＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称。

核心知识点四：函数的单调性与最值

解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象


值域
[－1，1]
[－1，1]
单调性
在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1


典例一：三角函数图象的应用
函数的定义域是___________
解析：要使函数有意义，则必有即
结合正弦曲线

可知的定义域为
总结提升：
求与三角函数有关的定义域的基本方法是“数形结合”法，也就是在求这类函数的定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的基本方法：要么利用正弦曲线，要么利用单位圆等图形来解决问题

典例二：三角函数的周期性
求下列函数的最小正周期。
（1）y＝sin（2x＋）（x∈R）；
（2）y＝|sin x|（x∈R）。
解：（1）方法一　令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R。
函数f（x）＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f（x）＝sin z（z∈R）的值才能重复取得。
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2（x＋π）＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，所以函数f（x）＝sin（x∈R）的最小正周期是π。
方法二　f（x）＝sin的最小正周期为＝π。
（2）因为y＝|sin x|
＝（k∈Z）。
其图象如图所示，

所以该函数的最小正周期为π。

总结提升：
对于形如函数y＝Asin（ωx＋φ），A≠0，≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解。


典例三：求正弦、余弦函数的单调区间
求函数y＝2sin的单调递增区间。
解：y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，
则y＝－2sin z。
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋（k∈Z）。
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋（k∈Z），
即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），
∴函数y＝2sin的单调递增区间为
（k∈Z）。

总结提升：
用整体替换法求函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间。求单调区间时，需将最终结果写成区间形式。

典例四：正、余弦函数的值域或最值
（1）求函数y＝2cos（2x＋），x∈（－，）的值域；
（2）求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值。
解：（1）∵－ ∴－ ∴函数y＝2cos（2x＋），x∈（－，）的值域为（－1，2）。
（2）令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋2。
当t＝时，ymax＝2，
此时sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋（k∈Z）。
当t＝－1时，ymin＝－。
此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋（k∈Z）。
综上，使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}，且最大值为2。
使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最小值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}，且最小值为－。

总结提升：
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等。三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质。
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin（ωx＋φ）的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c（a≠0）的三角函数，可先设sin x＝t，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c（a≠0）化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c（a≠0），根据二次函数的单调性求值域（最值）。
（3）对于形如y＝asinx（或y＝acosx）的函数的最值还要注意对a的讨论。



一、正、余弦函数的图象
1. 对“五点法”画正弦函数图象的理解
（1）与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图。
（2）正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点。
2. 作函数y＝asinx＋b的图象的步骤：

3. 用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出。

二、正、余弦函数的性质
1. 求函数的最小正周期的常用方法：
（1）定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f（x＋T）＝f（x）成立的T。
（2）图象法，即作出y＝f（x）的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|。
（3）结论法，一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝。
2. 判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键。如果定义域关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系，从而判断奇偶性。
3. 求函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋（k∈Z）解出x的范围，所得区间即为减区间。若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间。
4. 比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断。
5. 求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x（或cos x）为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围。


（答题时间：30分钟）
1. 对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是（　　）
A. 向左右无限伸展
B. 与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C. 与x轴有无数个交点
D. 关于y轴对称
2. 用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点（　　）
A. B.
C.（π，0） D.（2π，0）
3. 函数f（x）＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4. 已知a∈R，函数f（x）＝sin x－|a|（x∈R）为奇函数，则a等于（　　）
A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1
5. 下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（　　）
A. y＝cos|2x| B. y＝|sin x|
C. y＝sin D. y＝cos
6. 函数y＝cos（k＞0）的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
7. 函数y＝的奇偶性为（　　）
A. 奇函数
B. 既是奇函数也是偶函数
C. 偶函数
D. 非奇非偶函数
8. 函数f（x）＝3sin（x＋）是（　　）
A. 周期为3π的偶函数 B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数 D. 周期为的偶函数
9. 函数y＝1－2cos x的最小值，最大值分别是（　　）
A. －1，3 B. －1，1
C. 0，3 D. 0，1
10. 下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（　　）
A. y＝sin B. y＝cos
C. y＝sin D. y＝cos
11. 下列关系式中正确的是（　　）
A. sin 11° B. sin 168° C. sin 11° D. sin 168° 12. 函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是（　　）
A.（，π） B.（π，2π） C.（π，） D.（0，π）
13. 函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈[，]的最小值是（　　）
A. － B. C. 0 D. －
14. 若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为（　　）
A. B.
C. 2 D. 3



1. 答案：D
解析：由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确。
2. 答案：A
解析：易知不是关键点。
3. 答案：B
4. 答案：A
解析：因为f（x）为奇函数，
所以f（－x）＝sin（－x）－|a|＝－f（x）＝－sin x＋|a|，
所以|a|＝0，从而a＝0，故选A。
5. 答案：D
解析：y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π。
6. 答案：D
解析：∵T＝≤2，即k≥4π，
∴正整数k的最小值是13。
7. 答案：D
解析：由题意知，当1－sin x≠0，
即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，
所以函数的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数。
8. 答案：A
9. 答案：A
解析：∵cos x∈[－1，1]，∴－2cos x∈[－2，2]，
∴y＝1－2cos x∈[－1，3]，∴ymin＝－1，ymax＝3。
10. 答案：A
11. 答案：C
解析：∵sin 168°＝sin（180°－12°）＝sin 12°，
cos 10°＝sin（90°－10°）＝sin 80°。
∴由正弦函数的单调性，得sin 11° 即sin 11° 12. 答案：C
解析：作出函数y＝|sin x|的图象，如图，观察图象知C正确，故选C。

13. 答案：D
解析：令t＝cos x，x∈，∴t∈[－，]，
y＝3t2－4t＋1＝3（t－）2－。
∵y＝3（t－）2－在t∈[－，]上单调递减，
∴当t＝时，ymin＝3×（）2－4×＋1＝－。
14. 答案：A
解析：由题意知，＝，即T＝，＝，
∴ω＝。

正切函数的图象与性质

重点
1. 会求正切函数y＝tan（ωx＋φ）的周期。
2. 掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性。
3. 掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法。
难点
正切函数的对称中心
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 中等





核心知识点一：正切函数的图象特征
正切函数的图象

正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的。

核心知识点二：正切函数的性质
函数y＝tan xR且，Z的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象

定义域
{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间（k∈Z）内都是增函数


典例一：正切函数的定义域
求下列函数的定义域。
（1）y＝；
（2）y＝lg（－tan x）。
解：（1）要使函数y＝有意义，必须且只需
所以函数的定义域为
{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}。
（2）因为－tan x>0，所以tan x<。
又因为当tan x＝时，x＝＋kπ（k∈Z），
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋（k∈Z），
所以函数的定义域是{x|kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}。
总结提升：
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线。


典例二：正切函数的性质
设函数f（x）＝tan。
（1）求函数f（x）的周期，对称中心；
（2）作出函数f（x）在一个周期内的简图。
解：（1）∵ω＝，∴周期T＝＝＝2π。
令－＝（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），
∴f（x）的对称中心是（k∈Z）。
（2）令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－。

∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f（x）在一个周期内的简图（如图）。

总结提升：
（1）作出函数y＝|f（x）|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折。
（2）若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可。


1. 正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增。
2. 正切函数的性质
（1）正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R。
（2）正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期为T＝。
（3）正切函数在（k∈Z）上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间。


（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是（　　）
A.（0，0） B.
C. D.（π，0）
2. 函数f（x）＝lg（tan x＋）为（　　）
A. 奇函数
B. 既是奇函数又是偶函数
C. 偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
3. 满足tan A>－1的三角形的内角A的取值范围是（　　）
A. （0，π） B. （0，）∪（，π）
C. （π，π） D. （0，）∪（π，π）
4. 下列各点中，不是函数y＝tan（－2x）的图象的对称中心的是（　　）
A. （，0） B. （－，0）
C. （，0） D. （－π，0）
5. 函数f（x）＝tan ωx （ω>0）的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是（　　）
A. 0 B. 1 C. －1 D.
6. 函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是（　　）


7. 下列关于函数y＝tan的说法正确的是（　　）
A. 在区间上单调递增
B. 最小正周期是π
C. 图象关于点成中心对称
D. 图象关于直线x＝成轴对称

二、填空题
8. 函数y＝3tan（3x＋）的对称中心的坐标是________。
9. 函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________。
10. 函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________。
11. 函数y＝的定义域是________。



1. 答案：C
2. 答案：A
解析：∵>|tan x|≥－tan x，
∴其定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称。
又f（－x）＋f（x）＝lg（－tan x＋）＋lg（tan x＋）＝lg 1＝0，
∴f（x）为奇函数，故选A。
3. 答案：D
解析：因为A为三角形的内角，所以0 又tan A>－1，结合正切曲线得A∈（0，）∪（，π）。
4. 答案：C
解析：令－2x＝，k∈Z，得x＝－。
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－。故选C。
5. 答案：A
解析：由题意，得T＝＝，∴ω＝4。
∴f（x）＝tan 4x，f＝tan π＝0。
6. 答案：D
解析：当 当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x<0。故选D。
7. 答案：B
解析：令kπ－ 8. 答案：（k∈Z）
解析：由3x＋＝（k∈Z），得x＝－（k∈Z），
所以对称中心的坐标为（k∈Z）。
9. 答案：[－4，4]
解析：∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1。
令tan x＝t，则t∈[－1，1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5。
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4。
故所求函数的值域为[－4，4]。
10. 答案：±2
解析：T＝＝，
∴ω＝±2。
11. 答案：（kπ－，kπ＋]（k∈Z）