高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1.1《任意角》教学设计（表格式）

这是一份高中数学必修第一册人教A版（2019）5.1.1《任意角》教学设计（表格式），共6页。

《任意角》教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
思考：（1）假如你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？当时间校准后，分针旋转了多少度？
（2）假如你的手表快了1.25小时，你应该如何将它校准？当时间校准后，分钟旋转了多少度？
教师提出问题，引发学生的认知冲突，说明角的概念扩展的必要性，板书课题.
学生通过实际动手操作回答.

形象、具体地感知角可以通过终边不停地旋转得到，以前的角的范围明显不满足现实要求，所以要进一步推广.
角的概念的推广
我们规定，一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，这样，零角的始边和终边重合.如果是零角，那么=0º.
说明：（1）钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角；
（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记作
“”.
（3）设，是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
（4）我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.则角的减法可以转化为角的加法，即.
活动1：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？
师：提出问题.
生：回答问题.射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角.
活动2：举出不在0°～360°的角的实例，并加以说明.
师：展示课件，演示角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置的图形.
生：先举例，再说明所举例的角为什么不在0°～360°.
师：适时提供教材中的几个例子.
活动3：你认为刻画这些角的关键是什么？
生：思考、讨论，交流.
师：引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考.
回顾已有知识.


结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性.


让学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方向.

象限角
我们通常在直角坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
注意：（1）角与直角坐标系的关系
——角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合；
（2）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
思考题：
①锐角是第几象限角？
提示：第一象限角.
②钝角是第几象限角？
提示：第二象限角.
③直角是第几象限角？
提示：非象限角.
④以上问题反之如何？
提示：反之不成立.
师：先让学生以同一射线为始边作出角：210°，-150°，-660°，然后请学生思考问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎么放比较方便、合理？
生：画图探究、讨论、交流，总结分析合理放法.

师：在总结分析合理放法的基础上，给出象限角的概念，并说明在同一直角坐标系内讨论角的好处.

通过以直角坐标系为载体，帮助学生充分、直观感受象限角的概念，提高直观想象素养.


通过引导学生思考“在直角坐标系内讨论角的好处”，提醒学生在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，并且能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象.
终边相同的角
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
问题：（1）在直角坐标系中标出210°，-150°角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？
328°，-32°，-392°角的终边及数量关系是怎样的？
终边相同的角有什么关系？
（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，怎样用一个式子表示出来？
生：思考每组角的数量关系.
师：引导学生用含有一个角的关系式表示另一个角.同时展示课件，让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来.
从具体问题入手，了解终边相同的角的关系，再从具体到一般，认识终边相同的角的关系及其表示，由几何位置“终边相同”探讨其代数特征的“统一”，突破重难点，提升学生数学抽象、直观想象素养.

例题讲解
例1 在0°～360°范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：，所以在0°～360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
例2 写出终边在轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内，终边在轴上的角有两个，即90°和270°角，如图.

因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
，
而所有与270°角终边相同的角构成集合
，
于是，终边在轴上的角的集合




.
例3 写出终边在直线上的角的集合.中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线上的角有两个：45°和225°.因此，终边在直线上的角的集合


.

中适合不等式的元素有：
，
，
，
，
，
.
师：终边相同的角有什么关系？
生：终边相同的角相差360°的整数倍.
师生：得出答案，教师板书.


师：在0°～360°范围内，找出轴上的角.
生：90°，270°.
师：这两个角之间有什么关系？
生：相差180°.
师：你能用一个式子表示出答案吗？


师生：学生思考、板演，教师点评.提醒学生注意答案表示方式不唯一，但要采用简约的形式.


师生：先让学生类比例2的解答过程，写出的表达式，然后通过列举可得出所有元素，注意的正确取值是关键.

例1的设置为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数值等奠定基础.

通过例2，让学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式.

例3的设置帮助学生巩固终边相同的角的表示.

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角，提升学生逻辑推理和数学运算素养.

归纳小结
1.你知道角是如何推广的吗？象限角是如何定义的呢？
2.你掌握了与角终边相同的角的集合的表示方法了吗？
3.本节课你体会到哪些数学思想方法？
4.在本节课的学习过程中，你还有哪些不太明白的地方？

生：回答、讨论、交流，补充发言.
师：归纳总结，突出重点知识，解决学生的疑惑点.

让学生回顾本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法.

布置作业
教材第171页练习第3～5题.
学生独立完成.
巩固知识，提升能力.
板书设计
5.1.1 任意角
一、复习引入
二、探究新知
1.角的概念的推广
2.象限角
3.终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
三、例题讲解
例1
例2
例3

四、归纳小结
1.知识
2.思想方法

五、布置作业

教学研讨
本案例设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用几何画板等信息技术辅助教学效果会很好.教师可以充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生看.有条件的学校，可以让学生利用计算机进行探究，让学生在动态变化的过程中掌握知识、提炼方法.