高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学设计

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专题18任意角和弧度制（讲）

知识点课前预习与精讲精析
1．任意角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示
如图所示：
①始边：射线的起始位置OA．
②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O．
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
(3)正角、负角、零角
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角

负角
按顺时针方向旋转形成的角

零角
射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角


这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．
2．象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合．
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
[知识点拨]要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α 第二象限角
{α|k·360°＋90°<α 第三象限角
{α|k·360°＋180°<α 第四象限角
{α|k·360°＋270°<α
(2)轴线角：
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}

4．弧度制
(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制．

(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．
[知识点拨]　一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号　rad　表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．
5．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　．
[知识点拨]　对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．
3．弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即

根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．
(2)常用特殊角的弧度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
　　
　　
　　

　　
　　
　　
π
　　
2π

[知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制
用度作为单位来度量角的单位制
角的大
小与半
径无关
单位“°”不能省略
角的正
负与方
向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角的大
小与半
径无关
单位“rad”可以省略
角的正
负与方
向有关
十进制

(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
6．弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝　r2　＝　lr　
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长

点拨：弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．

1．计算：15°＝　　rad．
【解析】解：∵π＝180°，
∴1°，
则15°＝15（rad）．
故答案为：．
2．已知扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm，则此扇形的面积为　　cm2．
【解析】解：∵扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm，
∴扇形的弧长l＝2×1＝2cm，扇形的面积为Slr2×1＝1．
故答案为：1．
3．大于﹣360°且终边与角75°重合的负角是　　．
【解析】解：﹣360°+75°＝﹣285°，
故答案为：﹣285°．
4．﹣135°＝　　弧度，它是第　　象限角；
【解析】解：∵180°＝π，∴1°，
∴﹣135°，它是第三象限角．
故答案为：；三．
5．“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于　　弧度．
【解析】解：由题意知，120密位（弧度）．
故答案为：．

典型题型与解题方法
重要考点一：任意角
【典型例题】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是　　．
【解析】解：40分小时，360°＝240°，
因为时针按顺时针旋转，故形成负角，
﹣360°×2﹣240°＝﹣960°．
故答案为：﹣960°．
【题型强化】已知α锐角，那么2α是（　　）
A．小于180°的正角 B．第一象限角
C．第二象限角 D．第一或二象限角
【解析】解：∵α锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，
故选：A．
【收官验收】下列说法正确的是（　　）
A．三角形的内角必是第B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若角α，β满足β＝α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同
【解析】解：对于A，三角形的内角可以为90°，是终边在坐标轴上的角，故A错误；
对于B，390°是第一象限角，不是锐角，故B错误；
对于C，30°与390°不相等，但终边相同，故C错误；
对于D，若角α，β满足β＝α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同，故D正确．
∴正确的说法是D．
故选：D．
重要考点二：终边相同的角
【典型例题】与角2021°终边相同的角是（　　）
A．221° B．﹣2021° C．﹣221° D．139°
【解析】解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，
当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．
故选：A．
【题型强化】下列各个角中与2020°终边相同的是（　　）
A．﹣150° B．680° C．220° D．320°
【解析】解：∵2020°＝5×360°+220°，
∴与2020°终边相同的是220°．
故选：C．
【收官验收】在0°～360°范围内，与﹣80°角终边相同的角是（　　）
A．80° B．100° C．240° D．280°
【解析】解：与﹣80°角终边相同的角的集合是：{α|α＝k•360°+280°，k∈Z}．
∴在0°～360°范围内，与﹣80°角终边相同的角是280°．
故选：D．
【名师点睛】
1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
重要考点三：终边在某条直线上的角的集合
【典型例题】终边在直线yx上的角的集合为　　．
【解析】解：∵直线yx的斜率为，则倾斜角为60°，
∴终边落在射线yx（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}，
终边落在射线yx（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°+k•360°，k∈Z}，
∴终边落在直线yx上的角的集合是：
S＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}∪{α|α＝240°+k•360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝60°+（2k+1）•180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+n•180°，n∈Z}．
故答案为：{α|α＝60°+n•180°，n∈Z}．
【题型强化】终边落在y轴上的角的集合是　　．
【解析】解：当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ＝2kπ，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ＝2kπ，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ＝2kπ，或θ＝2kπ，k∈Z}
＝{θ|θ＝2kπ，或θ＝2kπ+π，k∈Z}＝{θ|θ＝nπ，n∈Z}．
故答案为 {θ|θ＝nπ，n∈Z}．
【收官验收】若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为　　．
【解析】解：在（0，2π）内第二象限角平分线的度数为，
所以和终边相同的角的集合为，
故答案为：
【名师点睛】
求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
重要考点四：区域角的表示
【典型例题】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

【解析】解：如图，终边落在阴影部分的角为：30°≤α＜105°或210°≤α＜285°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|30°+k•360°≤α＜105°+k•360°或210°+k•360°≤α＜285°+k•360°，k∈Z}
＝{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}．

【题型强化】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．

【解析】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为{a|2kπa≤2kπ，k∈Z}
（2）图（2）阴影部分内的角的集合为{a|kπa≤kπ，k∈Z}
【收官验收】如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OB上；
（2）终边落在直线OA上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．

【解析】解：由图形得，
（1）终边落在射线OB上的角的集合为：{α|α＝60°+k•360°，k∈z}，
（2）终边落在直线OA上的角的集合为：{α|α＝30°+k•180°，k∈z}，
（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|30°+k•180°≤α≤60°+k•180°，k∈z}．
【名师点睛】
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α (3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
重要考点五：分角、倍角所在角限的判断思路
【典型例题】已知α是第一象限角，那么是第　　象限角．
【解析】解：∵α是第一象限角，
∴α的取值范围是（2kπ，2kπ） （k∈Z）
∴的取值范围是（kπ，kπ） （k∈Z）
分类讨论
①当k＝2i+1 （其中i∈Z）时，的取值范围是（π+2iπ，2iπ）即属于第三象限角．
②当k＝2i（其中i∈Z）时，的取值范围是（2iπ，2iπ）即属于第一象限角．
故答案为：一或三．
【题型强化】若角α是第四象限角，则是第　　象限角．
【解析】解：∵α是第四象限角，
∴α∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z．
∴∈（kπ，kππ），k∈Z．
k＝0时是第二象限角，
k＝1时，是第三象限角，
k＝2时，是第四象限角．
∴是第二或第三或四象限角，
故答案为：第二或第三或第四象限角．
【收官验收】已知∠α是第二象限角，则∠2α是第　　象限角．
【解析】解：∵∠α是第二象限角，
∴2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z；
∴π+4kπ＜2α＜2π+4kπ，k∈Z；
∴∠2α是第三、四象限角或y轴上的角；
故答案为：y轴上的角或三、四．
【名师点睛】
1．已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限时，可根据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
2．已知角α终边所在的象限，确定终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除，k被n整除余1，k被n整除余2，……，k被n整除余n－1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观．
重要考点六：有关“角度”与“弧度”概念的理解
【典型例题】用弧度制表示所有与75°终边相同的角的集合是　　．
【解析】解：因为180°＝π，
可得75°，
与角相同的角为：α2kπ，k∈Z．
可得所有与75°终边相同的角的集合是{α|α2kπ，k∈Z}．
故答案为：{α|α2kπ，k∈Z}．
【题型强化】将角120°化成弧度为　　（用含π的代数式表示）．
【解析】解：∵1°，
∴120°＝120．
故答案为：．
【收官验收】315°＝　　弧度，弧度＝　　°．
【解析】解：315°＝315
105°
故答案为：；105
【名师点睛】
弧度与角度的概念的区别与联系
区别
(1)定义不同．
(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．
联系
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.

重要考点七：角度制与弧度制的转化
【典型例题】将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为　　．
【解析】解：分针拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是一负角，
把钟表拨快30min，时针走过30度的，
∴时针走过的弧度数是，
故答案为：．
【题型强化】把﹣1485°化成2kπ+α（0＜α＜2π，k∈Z）的形式是　　．
【解析】解：﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π，
故答案为：
【收官验收】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1）780°，（2）﹣1560°，（3）67.5°（4），（5），（6）．
【解析】解：（1）780°弧度弧度，
（2）﹣1560°弧度π弧度，
（3）67.5°弧度弧度．
（4）弧度600°，
（5）弧度15°，
（6）弧度315°．
【名师点睛】
角度制与弧度制互化的关键与方法：
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×()°＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；
(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．
重要考点八：用弧度制表示区域角
【典型例题】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合．
（1）；
（2）．
【解析】解：（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为{α|}；
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为{β|，k∈Z}∪{β|}．
【题型强化】如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

【解析】解：（1）将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．
故满足条件的角的集合为：α；
（2）若将终边为OA的一个角改写为，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，
故满足条件的角的集合为：α；
（3）将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，
故满足条件的角的集合为：；
（4）与第（3）小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，
故满足条件的角的集合为：α．
【收官验收】用弧度制分别写出第一至第四象限角的集合．
【解析】解：第一象限角的集合为{α|2kπ＜α2kπ，k∈Z}；
第二象限角的集合为{α|2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}；
第三象限角的集合为{α|π+2kπ＜α2kπ，k∈Z}；
第四象限角的集合为{α|2kπ＜α＜2π+2kπ，k∈Z}．
【名师点睛】
(1)根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
①仔细观察图形．
②写出区域边界作为终边时角的表示．
③用不等式表示区域范围的角．
(2)注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．
重要考点九：求扇形面积最值的函数思想
【典型例题】如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD．已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求△CDB的面积；
（2）求该扇形的半径OA的长．

【解析】解：（1）由题意CD＝400（米），DB＝300（米），∠CDB＝120°，
可得△CDB的面积S300×400×sin120°＝30000（平方米），
所以△CDB的面积为30000平方米．
（2）设扇形的半径为r，连结CO，
由题意∠CDO＝60°，
在△CDO中，OC2＝CD2+OD2﹣2 CD•OD•cos60°，
即r2＝4002+（r﹣300） 2﹣2×400×（r﹣300），
解得r＝370（米），
则该扇形半径OA的长为370米．

【题型强化】如图，在半径为、圆心角为的扇形OMN的弧上任取一点A，做扇形的内接矩形ABCD，设矩形ABCD的面积为y，∠AOB＝θ，求出y关于θ的函数关系式，并求出y的最大值．

【解析】解：由题意，AB＝OA•sinθsinθ，OB＝OAcosθcosθ，OCABsinθ，
∴BC＝OB﹣OCcosθsinθ，
∴y＝AB•BCsinθ（cosθsinθ）＝8sinθ（cosθ﹣sinθ）＝4sin（2θ）﹣4，
∵θ∈（0，），
∴2θ∈（，）
∴sin（2θ）∈（，1]，
∴2θ，即θ时，y的最大值为 44．
【收官验收】已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则：α＝90°，R＝10，l10＝5π（cm），
S弓＝S扇﹣S△5π×10102＝25π﹣50（cm2）．
（2）扇形周长C＝2R+l＝2R+αR，
∴R，
∴S扇α•R2α（）2•．
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值．
【名师点睛】
当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．