人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制多媒体教学课件ppt

课题名

5.1.2弧度制

教学目标

1.理解“1弧度的角”的定义，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系；

2.掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数；

2.掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式。

教学重点

掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数

教学难点

掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．

【探究1】 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？

【答案】角度制的单位有：度、分、秒。

        2.1°的角是如何定义的？

【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。

这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .

日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制，它是如何定义呢？

【设计意图】

通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

二、讲授新课

弧度的概念

    把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.

    弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.

约定： 正角的弧度数为正数，

          负角的弧度数为负数，

          零角的弧度数为0.

【思考1】圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?

【答案】2rad,-3rad.

【思考2】如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

【答案】

结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。

角度与弧度的换算

【思考1】一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？

【答案】360º，。

【思考2】根据上述关系，1°等于多少弧度，  1 rad等于多少度？

【答案】

角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。

【做一做】填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，

          任意角的集合         实数集R

【设计意图】通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。

扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则

例1.　(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：

α1＝－π，α2＝π，α3＝9，α4＝－855°；

(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：，－315°，－；

(3)在0°～720°中找出与终边相同的角．

【解】(1)α1＝－π＝－×180°≈－282.86 °；

α2＝π＝×180°＝15 330°；

α3＝9＝9×°≈515.66°；

α4＝－855°＝－855×＝－π.

(2)＝4π＋；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋；

－＝－2π＋.

(3)∵＝×180°＝72°，

∴与终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．

当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.

∴在0°～720°中与终边相同的角为72°，432°.

【类题通法】

1．进行角度与弧度的互化：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．

2.特殊角的弧度数与度数对应值要熟记。

【巩固练习1】

(1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．

(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？

【解】(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，

θ＝105°＝105×＝，

显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二：(化为角度)：

β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，

φ＝×()°＝105°.

显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

(2)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π.

因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．

例2.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？

【解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，

S弓＝S扇－S△＝××10－×102＝50.

(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，

∴S扇＝Rl＝R(C－2R)＝－R2＋RC＝－2＋，

∴当R＝时，S扇有最大值且为，此时l＝C－2R＝，

∴|α|＝＝·＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大．

【类题通法】求扇形的弧长和面积的解题技巧

(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝lR＝|α|R2

(2)找关键：关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

【巩固练习2】

(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；

(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．

【解】(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，

圆心角为θ(0<θ<2π)，由l＋2r＝20，得l＝20－2r，

由lr＝9，得(20－2r)r＝9，

∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.

当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．

当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.∴扇形的圆心角的弧度数为.

(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm，

扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．

二、 课堂小结

四、达标检测

1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　A　)

A．(k∈Z)               B．(k∈Z)

C．(k∈Z)               D．(k∈Z)

2．与30°角终边相同的角的集合是(　D　)

A．        B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}    D．

3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( A　　)

A．π       B．π      C．π        D．π

4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_－10π＋π_．

5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．2

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

教学反思

学生基本可以掌握本次内容，不过学生在使用扇形的弧长公式和面积公式时会忘记圆心角的大小需要加绝对值。