人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀综合训练题

突破5.1 任意角与弧度制

一、考情分析

二、考点梳理

考点1  任意角的概念

1.任意角

2.角的分类

考点2  象限角与非象限角

1.象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.

2.象限角的集合表示

3.非象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

4.非象限角的集合表示

考点3  终边相同的角

   一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和.

考点4  弧度制的概念

1.角度制

规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

2.弧度制的定义

    把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

3.弧度制与角度制的区别与联系

考点5  角度与弧度之间的互化

1.角度制与弧度制的换算

    角度化弧度                           弧度化角度

360°=2rad                          2rad=360°

180°=rad                           rad=180°

    1°=rad0.01745rad                 1rad=

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表

考点6  扇形的弧长与面积公式

设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：

三、题型突破

重难点题型突破01 象限角，轴线角,对称角，区域角与集合的关系

例1、（1）（2021·江苏·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【答案】答案见详解

【分析】

（1）结合图像，先分别表示终边落在两块区域的角的集合，再取并集即可；

（2）先写出在的范围内，阴影部分对应的角，再表示即可

【详解】

（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图像

终边落在阴影部分的角的集合可表示为：

或

（2）在的范围内，阴影部分为

终边落在阴影部分的角的集合可表示为：

（2）、（2021·全国·高二课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围．

【答案】

【分析】

分别写出终边落在x轴上方和下方的阴影部分的角的集合，再求这两个集合的并集即可.

【详解】

终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为：

，

终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为：

，

所以角的取值范围是集合．

【变式训练1-1】．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.

【答案】.

【解析】

在范围内，终边落在阴影内的角满足：或

满足题意的角为：

，，

本题正确结果：

【变式训练1-2】．（2021·全国·高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（    ）

A．180° B．-180° C．540° D．-540°

【答案】D

【分析】

根据任意角的定义即可得出选项.

【详解】

根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ，

故选：D

【变式训练1-3】．（2021·全国·高一专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.

（1）；

（2）.

【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.

【分析】

（1）分别写出与45°角终边相同的角和与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角，再表示出其范围.

（2）分别写出与45°角终边相同的角和与－60°＋360°＝300°角终边相同的角，再表示出其范围.

【详解】

（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，

与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.

所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.

（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，

与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，

所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.

重难点题型突破02 与终边有的角的问题以及对称问题2α，，

例2．（1）、（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】BD

【解析】是第三象限角，，，

则，，

令，有，；在二象限；

，，有，；在四象限；

故选：B．

（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知α为第三象限角，则所在的象限是（    ）

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限

C．第一或第三象限 D．第二或第四象限

【答案】D

【分析】

用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．

【详解】

由已知为第三象限角，则

则

当时

，此时在第二象限.

当时,

，此时在第四象限.

故选： D

【变式训练2-1】．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．笫四象限

【答案】ABD

【分析】

用不等式表示的范围，求得的范围后确定其所在象限．

【详解】

是第二象限的角，则，，

，，

当时，是第一象限角，

当时，是第二象限角，

当时，是第四象限角，

故选：ABD．

【点睛】

结论点睛：本题考查象限觚判断，掌握各象限角的表示是解题关键．

第一象限角：，，

第二象限角：，，

第三象限角：，，

第四象限角：，．

另外还有非象限角，即终边在坐标轴的轴线角．

【变式训练2-2】．（2020·广东高一期末）下列各角中，与2019°终边相同的角为（    ）

A．41° B．129° C．219° D．﹣231°

【答案】C

【解析】

因为，

所以与2019°终边相同.

故选：C.

重难点题型突破03 已知终边求角与已知终边区域求角

例3．（1）（2021·湖南怀化·高一期末）与角终边相同的角是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】

写出终边相同的角的集合，再判断选项.

【详解】

与角终边相同的角的集合是，

当时，，当时，.

故选：BD

（2）．（2021·上海·高一课时练习）分别写出终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上的角所对应的集合．

【答案】答案见解析

【分析】

根据终边相同的角的表示得出答案即可；

【详解】

解：x轴正半轴；

x轴负半轴；

x轴上的角

【变式训练3-1】．（2021·江苏·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°间的角写出来：

（1） －120°；       （2） 640°．

【答案】（1）答案见解析 ；（2）答案见解析．

【分析】

由终边相同的角的公式求解即可.

【详解】

（1）S＝{β|β＝k·360°－120°，k∈Z}，分别令k＝0，1，2得S中在－360°到720°间的角为－120°，240°，600°．

（2）S＝{β|β＝k·360°＋640°，k∈Z}，分别令k＝－2，－1，0得S中在－360°到720°间的角为－80°，280°，640°．

【变式训练3-2】．（2021·全国·高一专题练习）已知，求，并指出角终边的位置．

【答案】，终边在第一、三象限

【分析】

直接运算求得，分k是奇数和偶数讨论终边位置.

【详解】

∵，∴，

当k是偶数时，角的终边在第一象限，当k是奇数时，角的终边在第三象限,

∴角终边在一、三象限.

重难点题型突破04 弧度制的概念、角度与弧度的互化、弧度制与弧长

例4．（1）、（2021·江苏·高一课时练习）把下列各角化成（，）的形式，并分别指出它们是第几象限角：

（1）；    （2）-1500°；    （3）；    （4）672°．

【答案】答案见解析

【分析】

先化为的形式，再判断象限.

【详解】

（1）

是第四象限角，是第四象限角.

（2）

是第四象限角.

（3）

是第三象限角.

（4）是第四象限角.

（2）、（2021·江苏·高一课时练习）把下列各角从弧度化为度：

（1）；    （2）；    （3）；    （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

根据度数与弧度之间的转换公式计算：1弧度＝．

【详解】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【变式训练4-1】、（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.

【答案】    80°   

【解析】

根据角度制与弧度制的互化公式，

可得，.

故答案为：，.

【变式训练4-2】、（2021·江苏·高一课时练习）分别把下列各角从弧度化为度：

（1）；    （2）；    （3）；    （4）1.4．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

利用，即即可求解.

【详解】

（1）

（2）

（3）

（4）

重难点题型突破05 扇形的周长与面积

例5．（1）、（2021·全国·高一课时练习）若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】

利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】

因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，

故扇形所在圆的半径，

扇形的面积为，

故选：C．

（2）、（2021·山西省长治市第二中学校高一月考）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．

【详解】

由题得：弓所在的弧长为：；

所以其所对的圆心角；

两手之间的距离m．

故选：B

【变式训练5-1】．（2021·全国·模拟预测（文））已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得.

【详解】

因扇形的圆心角为，则此圆心角的弧度数是，设圆的半径为r，

则由扇形面积公式得：，而，解得，

所以该扇形所在圆的半径为2.

故选：B

【变式训练5-2】．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．

【答案】6    12π﹣9   

【解析】

∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.

∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，

∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，

∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．

故答案为：6，12π﹣9．