高中数学人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.3 幂函数优秀学案

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.3 幂函数优秀学案，共14页。学案主要包含了能力提升等内容，欢迎下载使用。

函数的概念与表示
函数的概念

重点
函数的概念、函数的三要素、区间表示数集
难点
函数的概念、函数的三要素
考试要求
Ø 题型选择题、填空题
Ø 难度简单、中等

核心知识点一：
1. 函数的有关概念

2. 区间的概念及表示
（1）区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a 定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a 开区间
（a，b）

{x|a≤x 半开半闭区间
[a，b）

{x|a 半开半闭区间
（a，b]

（2）无穷概念及无穷区间表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x 符号
（－∞，＋∞）
[a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，a]
（－∞，a）

注意：
1. 理解函数的概念应关注五点
（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的。
（2）理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集。
（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应。这三性只要有一个不满足，便不能构成函数。
（4）y＝f（x）仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也不一定就是解析式。
（5）除f（x）外，有时还用g（x）、u（x）、F（x）、G（x）等符号来表示函数。
2. 理解区间概念的注意点
（1）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；
（2）区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
（4）由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立。
3. 关于无穷大的两点说明
（1）∞是一个符号，而不是一个数；
（2）以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号。

典例一：函数的概念
【能力提升】设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（　）
A. 0　　　　　　　　 B. 1
C. 2 D. 3
解析：①中，因为在集合M中，当1 ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；
④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是。因此只有②是，故选B。

总结提升：
根据图形判断对应是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l。
②在定义域内平行移动直线l。
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数。

典例二：求函数值
【能力提升】已知f（x）＝（x∈R，x≠2），g（x）＝x＋4（x∈R）。
（1）求f（1），g（1）的值；
（2）求f[g（x）]。
解析：
（1）f（1）＝＝1，g（1）＝1＋4＝5。
（2）f[g（x）]＝f（x＋4）＝＝＝－（x∈R，且x≠－2）。
易错点拨：
求函数值的方法
①先要确定出函数的对应关系f的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f[g（x）]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g（x）]与g[f（x）]的区别。

典例三：求函数的定义域
【能力提升】求下列函数的定义域
（1）y＝－；（2）y＝。
解析：（1）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}。
（2）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤3，且x≠－5，
即函数的定义域为{x|x≤3，且x≠－5}。

总结提升：
求函数定义域的常用方法
①若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零。
②若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零。
③若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合。
④若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集。
⑤若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义。
（2）第（1）题易出现y＝x＋1－，错求定义域{x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形。

典例四：相等函数
【能力提升】下列各组函数相等的是：
①f（x）＝，g（x）＝x－1；
②f（x）＝，g（x）＝；
③f（x）＝·，g（x）＝；

解析：
①定义域不同，f（x）定义域为{x|x≠0}，g（x）定义域为R。不相等。
②对应关系不同，f（x）＝，g（x）＝。不相等。
③定义域、对应关系都相同。相等。
易错点拨：判断两个函数为相等函数应注意的三点
（1）求定义域时，不要化简表达式，定义域、对应关系两者中只有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数。
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的。
（3）在化简解析式时，必须是等价变形。

典例五：求函数值域
【能力提升】求函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5）的值域
解析：

y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，因为x∈[1，5），如图所示。
所以所求函数的值域为[2，11）。

易错点拨：
求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法。

1. 函数的概念要注意非空数集。定义域中的任意一个自变量，都有唯一的一个函数值与之对应。
2. 求定义域，不要对表达式进行化简。注意分式，偶次根式的限制、有多个条件时，取交集。
3. 求函数值域时，学会运用数形结合，值域就是定义域所对应图像Y的范围。

（答题时间：30分钟）
1. 已知,则的值是（）
A. 0 B. –1 C. 1 D. 2
2. 设，，能表示从集合A到集合B的函数关系的是（）
A. B.
C. D.
3. 已知函数=，则下列哪个函数与表示同一个函数（）
A. B.
C. D.
4. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
5. 函数的值域为（）
A. B. R
C. D.
6. 函数，的值域为（）
A. R B. [0，1] C. [2，5] D.
7. 不等式的解集用区间可表示为（）
A. B. C. D.

1. A 【分析】利用函数解析式，直接求出的值。
【详解】依题意。故选A。
【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题。
2. D 【分析】仔细观察图形，正确选取x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此可得答案。
【详解】由题意，根据选项可知A和B中，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，所以A和B不成立；C中，不能构成函数，不合题意，所以不成立；
D中，x的取值范围是[0，2]，y的取值范围是[1，2]，且可以构成函数，故选D。
【点睛】本题主要考查了函数的定义及其判定，其中熟记函数的基本定义和函数的判定方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。
3. B 【分析】根据二次根式的运算性质知，从函数定义域及解析式等方面排除A、C、D。
【详解】去绝对值可得，所以D错误，同一个函数要求定义域，解析式相同，所以，即选B。
【点睛】函数的三要素为函数定义域、对应法则和值域，满足同一函数必须同时满足以上三个条件，缺一不可。
4. A 【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可。
【详解】由题意得：
，解得：x≥1且x≠2，
故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），
故选：A。
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题。
5. B 【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R。
【详解】
解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，
的值域为R。
故选：B。
【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题。
6. C 【分析】根据函数的单调性求出最小值和最大值后即可得到值域。
【详解】由题意得函数在区间[0，1]上单调递增，
∴，即
∴在[0，1]的值域为[2，5]。
故选。
【点睛】利用函数的单调性可求得函数的最值，从而可求得函数的值域，这是求函数值域常用的方法，解题时可先判断出函数的单调性，根据单调性求得函数的最值后即可得到所求。
7. D 【分析】解不等式求得的取值范围，再用区间表示出来。
【详解】
由解得，用区间表示为，故选D。
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查区间的表示方法，属于基础题。

函数的表示

重点
函数的三种表示方法、分段函数
难点
函数的三种表示方法、分段函数
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题
Ø 难度中等

核心知识点一：
1. 函数的表示法

注意：
对三种表示法的说明
（1）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性。
（2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点。
（3）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域。
2. 函数的三种表示方法的优缺点
表示法
优点
缺点
解析法
①简明、全面概括了变量之间的关系；
②利用解析式能求出任意自变量对应的函数值
不够直观，且不是所有函数都能用解析式表示
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个自变量所对应的函数值

核心知识点二：
分段函数
如果函数y＝f（x），x∈A根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数。
注意：对分段函数的三点说明
（1）分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上的函数解析式不同而已。
（2）分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段因变量取值的并集。
（3）分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段图象的端点是用实心点还是空心点来表示。

典例一：列表法表示函数
【能力提升】已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：
x
1
2
3
f（x）
2
1
1

x
1
2
3
g（x）
3
2
1
则f（g（1））的值为________；当g（f（x））＝2时，x＝________。
解析：由g（x）对应表，知g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3），由f（x）对应表，得f（3）＝1，∴f（g（1））＝f（3）＝1。由g（x）对应表，得当x＝2时，g（2）＝2，又g（f（x））＝2，∴f（x）＝2。又由f（x）对应表，得x＝1时，f（1）＝2。∴x＝1。

总结提升：用列表法表示函数时，表格中所有自变量的值的并集是函数的定义域，表格中所有因变量的值的并集是函数的值域。

典例二：由解析式画函数图象
【能力提升】作出下列函数的图象：
y＝|x－2|·（x＋1）；
解：（1）先化简，再作图。
y＝。（如下图（1））。

典例三：求分段函数的值
【能力提升】已知函数f（x）＝
（1）求f（－3），的值；
（2）若f（a）＝2，求a的值。
解析：（1）∵－3＜－1，∴f（－3）＝－3＋2＝－1。
∵－1＜＜2，∴＝2×＝3。
又3＞2，∴＝f（3）＝。
（2）当a≤－1时，由f（a）＝2，得a＋2＝2，a＝0（舍去）；
当－1＜a＜2时，由f（a）＝2，得2a＝2，a＝1；
当a≥2时，由f（a）＝2，得＝2，a＝2或a＝－2（舍去）。
综上所述，a的值为1或2。

总结提升：（1）求分段函数的函数值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，再代入相应的解析式求得。
（2）像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理。

1. 分段函数求值，一定要注意自变量的取值范围。
2. 解分段函数方程，要一段一段的解，然后与对应的定义域取交集。
3. 嵌套函数求值由里到外层层处理。

（答题时间：30分钟）
1. 下列图形中，不可能作为函数y＝f（x）图象的是（　　）

2. 若f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）的表达式为（　　）
A. g（x）＝2x＋1 B. g（x）＝2x－1
C. g（x）＝2x－3 D. g（x）＝2x＋7
3. 已知f（2x）＝＋3，则f（）＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
4. 已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）＝2x＋17，则f（x）等于（　　）
A. x＋5 B. x＋1
C. 2x－3 D. 2x＋1
5. 函数f（x）＝则f（1）的值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
6. 下列给出的式子是分段函数的是（　　）
①f（x）＝
②f（x）＝
③f（x）＝
④f（x）＝
A. ①② B. ①④
C. ②④ D. ③④
7. 已知集合A中元素（x，y）在映射f下对应B中元素（x＋y，x－y），则B中元素（4，－2）在A中对应的元素为（　　）
A. （1，3） B. （1，6）
C. （2，4） D. （2，6）

1. 答案：C
解析：当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象。
2. 答案：B
解析：∵g（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1，∴g（x）＝2x－1。
3. 答案：D
解析：∵f（2x）＝＋3，∴f（x）＝＋3，
∴f（）＝＋3＝5。
4. 答案：A
解析：∵f（x）是一次函数，
∴设f（x）＝ax＋b（a≠0），
由3f（x＋1）＝2x＋17，得3[a（x＋1）＋b]＝2x＋17，
整理得3ax＋3（a＋b）＝2x＋17，
∴∴∴f（x）＝x＋5，故选A。
5. 答案：D
解析：∵1＞0，∴f（1）＝f（1－1）＝f（0）＝0。
6. 答案：B
解析：对于①，符合函数的定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系。对于②，当x＝2时，f（2）＝3或4，故不是函数。对于③，当x＝1时，f（1）＝5或1，故不是函数。对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系。
7. 答案：A
解析：由题意解得