突破3.3 幂函数（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破3.3 幂函数 一、考情分析 二、考点梳理 重难点 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.  三、题型突破 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．(1)（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设出幂函数的解析式，根据点求得解析式. 【详解】 设， 依题意， 所以. 故选：D (2)．（2020·三亚华侨学校高一期中）(多选题)已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ） A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减 C．奇函数 D．定义域为 【答案】BC 【分析】 设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可. 【详解】 设幂函数， 幂函数图象过点， ， ， 定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减. 故选：BC (3)．（2021·湖南周南中学高一开学考试）已知点在幂函数的图象上，则的表达式是__． 【答案】 【分析】 本题首先可根据幂函数的性质将函数设为，然后带入点，通过计算即可得出结果． 【详解】 因为函数幂函数， 所以设， 因为点在幂函数的图像上， 所以，，即 故答案为：． 【变式训练1-1】．（2020·河北沧州·）已知幂函数经过点，则＝________，不等式的解集为________. 【答案】 【分析】 首先设幂函数，根据其图象经过点，得到，求得，得到；根据幂函数的单调性，以及，得到不等式的解集. 【详解】 设，则，即，，故， 因为为增函数，且， 所以的解集为. 故答案为：①；②. 【点睛】 方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下： （1）首先设出幂函数的解析式； （2）根据幂函数图象所过的点，代入求得参数，得到函数解析式； （3）利用所求幂函数的单调性，求得不等式的解集. 【变式训练1-2】．（2021·浙江高一单元测试）（多选题）若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（ ） A．在定义域内是减函数 B．图象过点 C．是奇函数 D．其定义域是 【答案】BC 【分析】 先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可 【详解】 解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以， 由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误； 当时，，所以函数图象过点，所以B正确； 因为，所以为奇函数，所以C正确； 函数的定义域为，所以D错误， 故选：BC 【变式训练1-3】．（2021·上海高一专题练习）已知函数是幂函数.求函数的解析式. 【答案】 【分析】 利用幂函数的性质，列出方程求解即可 【详解】 函数是幂函数，则， 故 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： 例2．（1）（2020·全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由图可得：函数图象过点，即可求得：，同理可得：，问题得解. 【详解】 由图像可知，，得， 故选A.. 【点睛】 本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题． （2）．（2020·全国高三专题练习）已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　) A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m 【答案】C 【分析】 直接根据不同幂函数图象的特点判断即可. 【详解】 根据幂函数的性质可得，幂函数的图象在上，指数大的函数，其图象在上面，结合所给函数图像可得,故选C. 【点睛】 本题主要考查幂函数图象的特征，属于中档题.判断幂函数图象与指数之间的大小关系最主要的依据就是幂函数的图象在上“指大图高”. 【变式训练2-1】．（2021·江苏）已知是幂函数，对且有，若，，，则________0（填，）. 【答案】 【分析】 先根据是幂函数，求出的值，再根据且有，得出为增函数，进而得到函数解析式，再根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】 解：是幂函数， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 又对且时，都有， 在上单调递增， ， 易知的定义域为， 且， 为上的奇函数，且在上单调递增， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是利用幂函数以及单调性得出函数的解析式. 【变式训练2-2】．（2022·全国）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________． 【答案】α越大函数增长越快 【分析】 根据幂函数的图象与性质确定结论． 【详解】 解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快． 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 例3．（1）（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小，并说明理由． （1），； （2），． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析. 【分析】 （1）利用幂函数的单调性即可判断； （2）利用幂函数的单调性进行比较即可. 【详解】 （1）根据题意，幂函数在定义域上是增函数，而，所以． （2）幂函数在定义域上是增函数，而，所以． （2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可. 【详解】 因为是单调递减函数，，所以， 因为幂函数在上递增，； 所以， 即，故选D. 【点睛】 同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性. 【变式训练3-1】．（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由幂函数的单调性可以判断出的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出的大小关系，比较的大小可以转化为比较与的大小，设求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出与的大小关系，最后确定三个数的大小关系. 【详解】 解:由幂函数和指数函数知识可得，，即，. 下面比较的大小，即比较与的大小.设，则， 在上单调递增，在上单调递减， ，即，即， ，即，即，故选C. 【点睛】 本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键. 【变式训练3-2】．（2021·浙江）（多选题）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 对A,B,利用在上单调递增，即可判断；对C，由在上单调递减，即可判断；对D，由在上单调递减，即可判断. 【详解】 解：对A， ， 在上单调递增， 又， ，故A正确； 对B，， ， ，故B错误； 对C，， 在上单调递减， 又， ，故C正确； 对D，由换底公式得：，， ， 在上单调递减， 又, 即， ， 即，故D正确. 故选：ACD. 重难点题型突破3 幂函数型复合函数 例4．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围： （3）若实数满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】 （1）由幂函数定义得值，由单调性得的范围，结合奇偶性得值． （2）利用偶函数和单调性解不等式； （3）由（1）得，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值． 【详解】 （1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数， 在上单调递增，则，，所以或2． 所以； （2）由（1）偶函数在上递增， ． 所以的范围是． （3）由（1），，， ，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是2． 例5．（2021·静宁县第一中学高三月考（理））已知幂函数(，)在区间上单调递减. （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 (1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得； (2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解. 【详解】 （1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得 又，，则，此时，，即， 所以的解析式是； （2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立， 令，由(当且仅当，即时等号成立)，即， 所以实数的取值范围是. 四、定时训练（30分钟） 1．（2020·洪洞县新英学校高一期中（文））幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】 本题首先可根据函数是幂函数得出或，然后根据函数在上为增函数得出，即可得出结果. 【详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上为增函数， 所以，即，， 故选：D. 【点睛】 本题考查幂函数的相关性质，主要考查根据函数是幂函数以及幂函数的单调性求参数，考查计算能力，是简单题. 2．（2021·上海市西南位育中学高一期中）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___________. 【答案】 【分析】 利用待定系数法，结合代入法进行求解即可. 【详解】 设，因为幂函数f（x）的图像经过点A（16，4）， 所以，即， 故答案为： 3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________. 【答案】4 【分析】 根据幂函数的定义和单调性，即可求解. 【详解】 解：为递增的幂函数，所以，即， 解得：， 故答案为：4 4．（2020·山东高一期中）幂函数在上为增函数，则实数的值为_______． 【答案】 【分析】 由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意． 【详解】 解：由函数是幂函数，则，解得或； 当时，，在上为减函数，不合题意； 当时，，在上为增函数，满足题意． 故答案为． 【点睛】 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 5．（2020·湖北武汉·高一期中）幂函数在上是减函数，则实数的值为______. 【答案】-1 【分析】 根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解. 【详解】 由幂函数知， 得或. 当时，在上是增函数， 当时，在上是减函数， ∴. 故答案为 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题. αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、